Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
British Library, fonds « Copies of Exported Manuscripts Deposited under Government Export Regulations&nsp;» (London BL, RP 8576/1)
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 0rMonsieur
Monsieur de Maupertuis m'a remis tant Votre lettre que Vos ouvrages, dont je Vous suis infiniment obligé : ces derniers m'avoient inspiré d'abord une si haute idée de Votre Genie, que tout ce qui vient de Vous, me doit être precieux au dernier degré. J'ai vu avec beaucoup de surprise, que Vous manies avec tant de facilité les plus difficiles problémes de la mechanique, dont tout autre que Vous auroit peur, d'en entreprendre la solution. La pluspart des problemes, que Vous traites dans Votre Dynamique sont de cette nature, et je dois avouer franchement, quand je traitois le problême du mouvement vacillatoire d'un corps à une base arrondie sur une surface quelconq[ue], que je ne savois pas encore, comment introduire dans le calcul le mouvement progressif, desorte que Votre remarque est parfaitement bien fondée. Pour Votre Hydrodynamique je ne l'ai pas encore parcourue avec tant d'application, pour etre en êtat de connoitre clairement les differends entre Vous et Mr Bernoulli, mais je ne manquerai pas d'emploier à cette recherche le premier loisir, que je trouverai. Cependant il me semble que dans les problemes d'Hydrodynamique on ne peut pas si surement conter sur la verité des solutions, qu'on tire des principes de la mecanique, car on est toujours obligé de supposer un certain mouvement dans les differentes parties de la liqueur, pour en determiner les forces necessaires à leur acceleration ; et si en effet le vrai mouvement étoit different, on ne devroit pas être surpris, si l'experience étoit contraire au calcul. On rencontre principalement ces difficultes quand on veut determiner les effets de la resistence de l'eau sur un corps solide, qui s'y meut avec une vitesse quelconque : car de quelle maniere, qu'on determine les pressions de l'eau sur la surface du corps, je n'ai jamais pu mettre d'accord le calcul avec l'experience, et je croi que la determination de la resistence est une partie essentielle de l'hydrodynamique.
Permettes moi aussi, que je Vous marque une reflexion sur Votre probleme, où plusieurs corps se choquent à la fois ; il me semble que ce probleme en lui meme est indeterminè, et qu'il faut absolument avoir égard à la durée de chaque choc. Car quoiqu'on suppose, que le choc s'acheve dans un instant, on est neant moins obligé de comparer entr'eux ces divers instants, et selon le divers rapport, qui s'y peut trouver, la solution deviendra differente : il y a meme des cas, où ces instants different necessairement entr'eux ; et alors on sera obligé de resoudre les choqs dans leurs élemens. Or je voi que Vous aves deja fait presque la meme reflexion dans Vos remarques sur ce probleme.
Mr de Maupertuis m'a aussi communiqué Votre piece sur le mouvement d'une corde, dont j'ai été tout à fait charmé. Jusqu'ici on n'avoit consideré que les vibrations reguliéres, où toute la corde vient toujours en meme tems, dans sa situation naturelle : or ce mouvement ne peut avoir lieu, que dans le cas, où la corde a été forcée au commencement, de son etat naturel selon la trochoide allongée : de sorte que, si la corde n'a été frappée que dans un point, ou qu'on lui ait donné une figure quelconque en la relachant subitement, il est clair, que son mouvement doit étre bien different du premier, et que la courbure de la corde à chaque instant doit dependre de la courbe, que la corde a eu au commencement. Votre solution est aussi parfaite qu'ingenieuse, par laquelle Vous saves si admirablement determiner la nature des fonctions, dont Vous ne saves que quelques proprietes de leurs differentiels. Quoique Vous n'en fassies aucune application à des cas particuliers, j'ai remarqué qu'on en peut determiner tres aisement dans chaque cas proposé le mouvement entier de la corde.
Soit \(AMB\) la courbe qu'on eut donnée à la corde au commencement : (soit reguliere ou irreguliere) transportes la meme figure alternativement sur la droite prolongée de part et d'autre \(AB\) en \(Ab\), \(ba'\) etc. et \(Ba\) etc. desorte que \(Ab\), \(a'b\), \(aB\) etc. soient egales et semblables à \(AB\).
Soit ensuite \(\alpha \mu \beta\) la courbure de la meme corde après un tems \(t\), qu'elle a été subitement relachée ; et ayant pris l'abscisse \(\alpha \pi = AP\), prenes sur \(AB\) de part et d'autre \(PR = PT = t\), et suivant Votre solution l'appliquée \(\pi \mu\) sera toujours \(= \frac{RS + TV}{2}\). Si le tems \(t\) est plus grand [de sorte] que les points \(R\) et \(T\) tombent hors d'\(AB\), il faut prendre les appliquées que les courbes \(Ab\) et \(Ba\) donneront. On peut aussi donner une équation analytique qui renferme la solution generale. Soit la longitude de la corde \(AB = \alpha \beta = c\) le poids de la corde \(= C\), la force, dont la corde est tendüe \(= F\), et âpres qu'on eut donne à la corde au commencement une figure quelconq[ue] \(AMB\), de laquelle le mouvement de la corde ait commencé : apres un tems \(= t\), exprimé comme on est accoutumé de le faire dans la mecanique, nommes \(t\surd{\frac{cF}{2C}} = u\), et soit \(\pi\) l'arc de 180° dans un cercle dont le rayon \(=1\). Cela posé mettant l'abscisse \(\alpha \pi = x\) et l'appliquée \(\pi \mu = y\), on aura toujours : \[y = \alpha \sin \frac{ \pi x}{c} \cos \frac{ \pi u}{c} + \beta \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c} + \gamma \sin \frac{3 \pi x}{c} \cos \frac{3 \pi u}{c} + \delta \sin \frac{4 \pi x}{c} \cos \frac{4 \pi u}{c} + {\rm etc}.\] Si Vous mettes \(u = c\), le tems \(t\) deviendra \(= \surd{\frac{2Cc}{F}}\) et ce tems sera à une seconde comme \(\surd{\frac{Cc}{2Fa}}\) à 1, si \(a\) marque la hauteur, par laquelle un corps tombe dans une seconde, ce qui sert à reduire les tems \(t\) de ce calcul à la mesure ordinaire. Donc au commencement la courbure de la corde sera exprimée par cette équation en posant \(u = 0\) : où les cosinus des angles \(\frac{\pi u}{c}\), \(\frac{2\pi u}{c}\) etc. deviennent égaux au rayon \(= 1\), \[y = \alpha \sin \frac{ \pi x}{c} + \beta \sin \frac{2 \pi x}{c} + \gamma \sin \frac{3 \pi x}{c} + \delta \sin \frac{4 \pi x}{c} + {\rm etc.}\] où les coefficients \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), etc. doivent être determinés par la figure initiale. Si apres \(\alpha\) tous les autres coefficients \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), etc. evanouissent, on obtient le cas des oscillations reguliéres, qui sont les seules, qu'on ait considerées jusqu'ici : et l'équation \(y = \alpha \sin \frac{\pi x}{c}\) marque la trochoide allongée, ou bien la lineam sinuum de Leibniz : et apres le tems \(t = u \surd{\frac{2C}{Fc}}\), la courbe sera exprimée par \(y = \alpha \sin \frac{\pi x}{c} \cos \frac{\pi u}{c}\), et mettant \(u = \frac{1}{2}c\), à cause de \(\cos \frac{\pi}{2} = \cos 90^{\circ} = 0\), toute la corde parviendra dans la ligne droite \(AB\), et partant une oscillation ou vibration s'achevera en mettant \(u = c\), et ce tems sera \(=\surd{\frac{Cc}{2Fa}}''\), ou dans une seconde la corde fera \(\surd{\frac{2 Fa}{Cc}}\) vibrations. Si hormi \(\beta\) toutes les autres lettres \(\alpha\), \(\gamma\), \(\delta\) etc. evanouissent, on aura le cas \(y = \beta \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c}\), où les deux moitiés de la corde achevent separement leurs vibrations : et ainsi de suite, de sorte que l'equation generale donnée contient tous les mouvemens possibles : Elle a aussi la proprieté, qui est requise selon Votre theorie : Car en ne supposant que \(x\) variable, on aura \[\frac{ddy}{dx^2} = - \frac{\alpha \pi^2}{cc}\sin \frac{ \pi x}{c} \cos \frac{ \pi u}{c} - \frac{4\beta \pi^2}{cc} \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c} - {\rm etc}.\] et en ne mettant que \(u\) variable on aura \[\frac{ddy}{du^2} = - \frac{\alpha \pi^2}{cc}\sin \frac{ \pi x}{c} \cos \frac{ \pi u}{c} - \frac{4\beta \pi^2}{cc} \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c} - {\rm etc}.\] de sorte que \(\frac{ddy}{dx^2} = \frac{ddy}{du^2}\).
Enfin je serai extremement ravi de voir Vos additions à Votre excellente Piece sur les Vents et je Vous remercie par avance de ce beau présent que Vous me destines : étant avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre très humble et très obeïssant serviteur
L. Euler
Berlin ce 2 Octobr. 1746
74.01  |  7 janvier 1774
D'Alembert à Melanderhjelm
74.03  |  7 janvier 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.02  |  7 janvier 1774
D'Alembert à Michaelis
74.04  |  8 janvier 1774
Le Sage Georges Louis à D'Alembert
A74.01  |  18 janvier 1774
D'Alembert à Journal Encyclopédique
74.05  |  19 janvier 1774
Rohan à D'Alembert
74.06  |  25 janvier [1774]
Crillon Felix François à D'Alembert
74.08  |  3 février 1774
Phipps à D'Alembert
74.09  |  7 février [1774]
D'Alembert à Dotteville
74.10  |  10 février 1774
Breteuil à D'Alembert
74.11  |  12 février [1774]
D'Alembert à Voltaire
74.14  |  14 février 1774
D'Alembert à Lagrange
74.13  |  14 février 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.12  |  14 février 1774
D'Alembert à Euler Johann Albrecht
74.15  |  25 février 1774
Voltaire à D'Alembert
74.16  |  26 février [1774]
D'Alembert à Voltaire
74.27  |  [fin mars 1774]
D'Alembert à Villahermosa
74.17  |  4 mars 1774
D'Alembert à Villahermosa
74.18  |  5 mars [1774]
Voltaire à D'Alembert
74.20  |  11 mars 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.19  |  11 mars 1774
D'Alembert à Villahermosa
74.21  |  14 mars [1774]
D'Alembert à Villahermosa
74.22  |  15 mars [1774]
D'Alembert à Voltaire
74.23  |  20 mars 1774
D'Alembert à Villahermosa
74.24  |  21 mars 1774
Voltaire à D'Alembert
74.25  |  22 mars [1774]
D'Alembert à Voltaire
74.26  |  23 mars [1774]
D'Alembert à La Condamine (Bouzier d'Estouilly) Mme
74.28  |  7 avril 1774
D'Alembert à Voglie
74.29  |  9 avril [1774]
D'Alembert à Villemain
74.32  |  25 avril 1774
D'Alembert à Melanderhjelm
74.31  |  25 avril [1774]
D'Alembert à Lagrange
74.30  |  25 avril 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.36  |  [c. mai 1774]
Mariette à D'Alembert
74.33  |  15 mai 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.34  |  20 mai 1774
D'Alembert à Lagrange
74.35  |  21 mai 1774
Lagrange à D'Alembert
74.37  |  [2 juin 1774]
Lespinasse Mlle à D'Alembert
74.39  |  4 juin 1774
Voltaire à D'Alembert
74.38  |  4 juin [1774]
D'Alembert à Necker (Curchod) Mme
74.40  |  [c. 5 juin 1774]
D'Alembert à Villahermosa
74.41  |  6 juin 1774
Lagrange à D'Alembert
74.42  |  15 juin 1774
Voltaire à D'Alembert
74.43  |  25 [juin 1774]
Lespinasse dictant à D'Alembert à Condorcet
74.44  |  30 juin 1774
Beauvau Craon M. et Mme à D'Alembert
74.46  |  1 juillet 1774
D'Alembert à Lagrange
74.45  |  1 juillet 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.47  |  4 juillet [1774]
D'Alembert à Wielhorski
74.48  |  [4 juillet 1774]
Wielhorski à D'Alembert
A74.03  |  17 juillet 1774
Condorcet à D'Alembert
74.49  |  28 juillet 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.50  |  [1er août 1774]
D'Alembert à Villemain
74.51  |  3 août 1774
D'Alembert à Non identifié
74.52  |  12 août 1774
D'Alembert à Aubry Jean Baptiste Benoît
74.53  |  17 août 1774
Voltaire à D'Alembert
74.54  |  18 août 1774
Caracciolo à D'Alembert
74.55  |  20 août [1774]
D'Alembert à Anjou
74.56  |  21 [août 1774]
D'Alembert à Anjou
74.57  |  27 août [1774]
Voltaire à D'Alembert
74.58  |  29 [août 1774]
Lespinasse dictant à D'Alembert à Bernardin de Saint Pierre
74.59  |  [5 septembre 1774]
Lespinasse dictant à D'Alembert à Bernardin de Saint Pierre
74.60  |  7 septembre 1774
D'Alembert à Phipps
74.61  |  10 septembre 1774
Voltaire à D'Alembert
74.63  |  12 septembre 1774
D'Alembert à Lagrange
74.62  |  12 septembre 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.64  |  17 septembre 1774
D'Alembert à Bexon
74.65  |  28 septembre [1774]
Voltaire à D'Alembert et Condorcet
74.66  |  30 septembre 1774
D'Alembert à Fuentès
74.67  |  30 septembre 1774
D'Alembert à Villahermosa
74.68  |  1 octobre 1774
Lagrange à D'Alembert
74.69  |  3 octobre [1774]
D'Alembert à Germanès
74.70  |  9 octobre 1774
D'Alembert à Guibert
74.71  |  18 octobre 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.72  |  20 octobre 1774
D'Alembert à Non identifié
74.73  |  22 octobre 1774
D'Alembert à Fromant
74.74  |  28 octobre 1774
D'Alembert à Murr
74.75  |  29 octobre [1774]
Voltaire à D'Alembert
74.76  |  31 octobre 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.85  |  [septembre-novembre 1774]
La Chalotais à D'Alembert
74.77  |  3 novembre 1774
D'Alembert à Perronet
74.79  |  7 novembre 1774
Voltaire à D'Alembert
74.78  |  7 novembre 1774
Hess à D'Alembert
74.80  |  10 novembre 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.81  |  15 novembre 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.82  |  20 novembre 1774
D'Alembert à Non identifié
74.83  |  21 novembre 1774
Voltaire à D'Alembert et Condorcet
74.84  |  24 novembre 1774
D'Alembert à Sartine
74.86  |  9 décembre 1774
Voltaire à D'Alembert
74.87  |  14 décembre 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.89  |  15 décembre 1774
D'Alembert à Lagrange
74.88  |  15 décembre 1774
D'Alembert à Frédéric II
74.90  |  [21 ou 27 décembre 1774]
D'Alembert à Vergennes
74.91  |  [25 ou 26] décembre 1774
Malesherbes à D'Alembert
74.92  |  27 décembre 1774
D'Alembert à Malesherbes
74.93  |  30 décembre [1774]
Voltaire à D'Alembert et Condorcet