Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
London BL, Egerton 19, f. 191-192
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 251-254
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 191rMonsieur,
Quoique d'autres occupations ne m'ayent pas encore permis d'examiner avec asses d'application Vos differends avec Mr. Bernoulli sur la pression d'un fluide contre les parois d'un vase, quand la formule, qui en exprime la valeur devient négative, je crois pourtant que Vos raisons sont aussi bien fondées, que celles de Mr. Bernoulli, et que c'est une circonstance étrangere, à laquelle il faut attribuer l'effet de la suction, que l'experience montre trop clairement, pour qu'on en puisse douter ; et que ce n'est pas meme l'adherence des parties de l'eau, comme Vous sembles soutenir pag: 126, qui en est la cause. Comme il s'agit de determiner la force, dont les particules de l'eau sont comprimées ensemble, Vous ne consideres que la force, qui resulte de l'action mutuelle de ces particules, qui etant posée \(=q\), il est clair, que si \(q\) est une quantité positive, les parois seront pressés avec la même force ; et l'eau y echapperoit par un trou avec une vitesse convenable. Mais quand \(q\) devient une quantité negative, il n'y a aucun doute, que l'eau ne devroit cesser d'être continu dans le tuyau, (à moins faisant abstraction de l'adherence des parties, dont l'effet, à ce qu'il me paroit, ne sera pas considerable), pourvu que \(q\) exprimât toute la force de compression. Or je remarque que Vous n'avés pas eu egard de la pression de l'atmosphere, qui augmente de son poids la pression de l'eau, et partant nommant la pression de l'atmosphere \(= h\), la pression de la particule de l'eau en \(P\) ne sera pas \(=q\), quantité qui resulte de Votre theorie, mais elle sera \(=h+q\). Donc dans le cas que \(q\) devient negative savoir \(q=-p\), la pression de l'eau en \(P\) étant \(=h-p\) ne laissera d'être affirmative, pourvu que \(p < h\) et ce sera la raison, pourquoi l'eau ne cessera pas de rester continu. Supposons maintenant qu'on ait percé un trou dans \(P\) et qu'on y attache un tuyau \(PQ\) plongé dans un vaisseau \)Q\) plein d'eau ; cette eau etant pressé par l'atmosphere sera poussée en haut d'une certaine force, qui étant en \(P\) plus grande que \(h - p\), l'eau devra monter par le tuyau \(QP\) et entrer en \(P\) dans le tuyau \(ABCD\), comme Mr. Bernoulli f. 191v pretend, et comme toutes les experiences, que nous avons faites ensemble à Petersbourg l'ont confirmé. Mais si le tuyau êtoit situé dans un espace vuide de l'air, cet effet n'arriveroit pas ; car alors il n'y a aucun doute, que l'eau ne perdroit son continuité, tout comme Vous pretendes. Votre theorie sera donc vraie à la rigueur dans le cas, où le tuyau est placé dans un espace vuide d'air ; et celle de Mr. Bernoulli l'est également quand le tuyau se trouve en plein air.
J'ai lû avec autant de fruit que de satisfaction Votre derniere piece dont Vous aves honoré notre Academie. La maniere, dont Vous prouves, que toute expression \(x^n + Ax^{n-1} + \textrm{etc.} = 0\), qui n'a point de racines reelles, en doit avoir une de cette forme \(p\pm q\surd{-1}\) : et que par consequent elle doit avoir un facteur de cette forme \(xx+\alpha x+\beta\) me satisfait pleinement ; mais comme elle procede par la resolution de la valeur de \(x\) dans une serie infinie, je ne sai, si tout le monde en sera convaincu. J'ai lu dernierement dans une assemblée de Notre Academie une piece sur ce meme sujet, où j'ai demontré d'une maniére qui doit être à la portée de tout le monde, que toute expression \(x^n + Ax^{n-1} + Bx^{n-2} + \textrm{etc.}\) si \(n\) est une puissance du binaire, est resoluble en facteurs réels de cette forme \(xx+\alpha x+\varbeta} : et de là la meme chose est claire pour les équations de chaque degré. Car si par exemple l'equation proposée est du 6me ordre, on n'a qu'à la multiplier par \(xx + mx + n\) pour avoir une du 8me ordre, dont la resolution est demontrée. J'avois traité la meme matiere il y a longtems dans un livre, qui est actuellement sous la presse à Lausanne chez Mr. Bousquet. Mais ce qui m'a plu surtout dans Votre piece c'est la reduction de plusieurs formules integrales à [la] rectification de l'ellipse et de l'hyperbole : matiere à laquelle j'avois aussi deja pensé, mais je n'ai jamais pu venir à bout de la formule \[\frac{dx}{\surd{(\alpha+\beta x+\gamma x^2+\delta x^3+\varepsilon x^4)}}\] et je regarde Votre resolution comme un chef d'œuvre de Votre penetration. f. 192r Mais Vous me permettres, que je ne sois pas de Votre sentiment au sujet du \(\log.- x\) que Vous ne croies pas imaginaire : la raison que Vous allegues, tirée de l'équation differentielle \(dy = \frac{dx}{x}\) de la logarithmique, par laquelle Vous voules prouver que cette courbe a deux branches egales de part et d'autre de l'assymtote, parce que l'equation demeure la meme, soit qu'on prenne \(x\) affirmatif ou negatif, ne prouve rien : car l'équation differentielle de la parabole \(2x\, dy = y\, dx\) prouveroit la meme chose pour la parabole. Ce critère ne vaut donc plus dans les équations differentielles. Ensuite quoique le differentiel de \(\ell -x\) soit le même que de \(\ell+x\), il ne s'ensuit rien ni pour l'egalité de ces deu[x] logarithmes, ni pour la realité du premier. On n'en peut concl[ure] que la difference de ces deux logarithmes est constante, com[me elle] est effectivement \(=\ell -1\), et cela ne decide pas si \(\ell -1\) est re[el ou] imaginaire. Pour moi je croi avoir demontré qu'il est [toujours] imaginaire : et qu'il est \(=\pi(1\pm 2n)\surd{-1}\) où \(\pi\) marque la cir[conférence] d'un cercle dont le diametre \(=1\), et \(n\) un nombre entier qu[elconque]. Car j'ai fait voir tout comme à chaque sinus répondent une [infinit]é d'arcs de cercle, aussi le logarithme de chaque nombre a une infinite de valeurs differentes : parmi lesquelles il n'y a qu'une qui soit reelle quand le nombre est affirmatif, mais quand le nombre est negatif toutes les valeurs sont imaginaires. Ainsi \(\ell 1=\pi(0\pm 2n)\surd{-1}\) et \(n\) marquant un nombre entier quelconq[ue], posant \(n = 0\), nous aurons le logarithme ordinaire \(\ell\,1 = 0\) : et de la meme maniere on aura \(\ell a=\ell a+\pi(0\pm 2n)\surd{-1}\), où \(\ell a\) dans la dernière partie marque le logarithme ordinaire de \(a\) : or \(\ell -a=\ell a+\pi(1\pm 2n)\surd{-1}\), dont toutes les valeurs sont imaginaires. Tout cela s'ensuit de la formule \[\ell(\cos. \theta+\sin. \theta .\surd{-1})^k=(k\theta\pm 2mk\pi\pm 2n\pi)\surd{-1},\] où \(m\) et \(n\) marquent des nombres entiers quelconques, dont la verité est aisée à demontrer. J'ai l'honneur d'être avec la plus parfaite consideration
Monsieur,
Votre très humble et très obéïssant serviteur L. Euler
Berlin ce 29 Dec.1746.
f. 192vA Monsieur
Monsieur d'Alembert de l'Academie Royale des Sciences de Paris et de celle de Berlin
à Paris
79.34  |  [janvier-mars 1779]
Grosley à D'Alembert
79.02  |  3 janvier 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.03  |  4 janvier [1779]
D'Alembert à Espagnac Marc René
79.04  |  5 janvier [1779]
Sabbathier à D'Alembert
79.05  |  6 janvier 1779
Flechier à D'Alembert
79.06  |  18 janvier 1779
Vausenville à D'Alembert
79.08  |  20 [janvier] 1779
Seguier à D'Alembert
79.07  |  20 janvier 1779
D'Alembert à Vausenville
79.09  |  24 janvier 1779
Choquet à D'Alembert
79.10  |  30 janvier 1779
Vausenville à D'Alembert
79.11  |  6 février 1779
Astori à D'Alembert
79.12  |  6 février [1779]
Non identifié à D'Alembert
A79.01  |  8 février 1779
Non identifié à D'Alembert
79.13  |  14 février 1779
Jabineau de la Voute à D'Alembert
79.15  |  [c. 15 février 1779]
Astori à D'Alembert
79.14  |  15 février 1779
D'Alembert à Jabineau de la Voute
79.16  |  18 février 1779
D'Alembert à Villemain
79.17  |  20 février 1779
Mornay Mme à D'Alembert
79.18  |  23 février 1779
Luchet à D'Alembert
79.19  |  24 février 1779
D'Alembert à Tollius
79.21  |  27 février [1779]
D'Alembert à Mercier de Saint Léger
79.20  |  27 février 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
79.22  |  3 mars 1779
Palissot à D'Alembert
79.23  |  4 mars 1779
Amelot de Chaillou à D'Alembert
79.24  |  6 mars 1779
D'Alembert à Lassone
79.25  |  10 mars 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
79.26  |  10 mars 1779
D'Alembert à Montbarrey
79.27  |  15 mars 1779
Tinseau à D'Alembert
79.29  |  20 mars 1779
Lagrange à D'Alembert
79.28  |  20 mars 1779
D'Alembert à Decroix
79.30  |  22 mars 1779
D'Alembert à Meslin
79.31  |  25 mars [1779]
D'Alembert à Decroix
79.32  |  26 mars 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
A79.02  |  27 mars 1779
D'Alembert à Mercure de France
79.33  |  28 mars [1779]
D'Alembert à Ginguené
79.35  |  13 avril [1779]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
79.36  |  14 avril 1779
Choiseul à D'Alembert
79.37  |  28 avril [1779]
D'Alembert à Frisi
79.38  |  29 avril 1779
Le Brun Ponce Denis à D'Alembert
79.40  |  30 avril 1779
D'Alembert à Lagrange
79.39  |  30 avril 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.41  |  23 mai 1779
D'Alembert à Non identifié
79.42  |  1 juin 1779
Ostervald à D'Alembert
79.43  |  2 juin 1779
Ansse de Villoison à D'Alembert
79.44  |  5 juin 1779
D'Alembert à Gadbled
79.45  |  5 juin 1779
Luchet à D'Alembert
79.46  |  6 juin 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.47  |  7 juin 1779
D'Alembert à Melanderhjelm
79.48  |  10 juin 1779
D'Alembert à Ostervald
79.49  |  17 juin 1779
Non identifié à D'Alembert
79.50  |  25 juin 1779
Lagrange à D'Alembert
79.51  |  2 juillet 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.52  |  5 juillet [1779]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
79.53  |  16 juillet 1779
D'Alembert à Hemsterhuys
79.54  |  17 juillet [1779]
Grosley à D'Alembert
79.56  |  18 juillet 1779
D'Alembert à Dotteville
79.55  |  18 [juillet 1779]
D'Alembert à Cadet de Vaux
79.60  |  [août 1779]
Malesherbes à D'Alembert
79.57  |  2 août 1779
Montausier à D'Alembert
79.58  |  11 août 1779
Argental à D'Alembert
79.59  |  29 août 1779
Saint Ange à D'Alembert
79.61  |  6 septembre 1779
Mimeure à D'Alembert
79.62  |  10 septembre 1779
D'Alembert à Lagrange
79.63  |  11 septembre 1779
D'Alembert à Frisi
A79.03  |  18 septembre 1779
D'Alembert à Mercure de France et Journal Encyclopédique
79.64  |  19 septembre 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.65  |  22 septembre 1779
D'Alembert à Melanderhjelm
79.66  |  25 septembre 1779
Dugast de la Bartherie à D'Alembert
79.67  |  29 septembre 1779
D'Alembert à Bertin
79.68  |  2 octobre 1779
D'Alembert à Caze de la Bove
79.69  |  7 octobre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.70  |  12 octobre 1779
Castillon à D'Alembert
79.71  |  16 octobre 1779
Borelly à D'Alembert
79.72  |  17 octobre 1779
Bertin à D'Alembert
79.73  |  [c. 15 novembre 1779]
D'Alembert à Aude
79.74  |  17 novembre 1779
D'Alembert à Fromant
79.75  |  19 novembre 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.76  |  23 novembre 1779
Non identifié à D'Alembert
A79.04  |  29 novembre 1779
Franqueville (La Tour) Mme à D'Alembert
79.77  |  3 décembre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.78  |  11 décembre 1779
Lagrange à D'Alembert
79.79  |  19 décembre 1779
Nerot à D'Alembert
79.80  |  [décembre 1779]
D'Alembert à Frédéric II