f. 227rMonsieur

Je suis bien sensible à la manière dont l'academie a bien voulu recevoir les pieces que j'ay eu l'honneur de luy addresser, et je suis tres flatté en particulier du cas que vous paroissés en faire. Je feray tous mes efforts, pour meriter de plus en plus d'aussy glorieux suffrages.

Permettés moy, Monsieur, de ne pas me rendre encore sur les logarithmes imaginaires des quantités negatives. Je conviens de toute la profondeur & de toute la force de vos raisons, mais je ne suis pas encore bien convaincu, & c'est peut etre ma faute. 1°. l'exemple que vous me rapportés de la courbe \(y={\surd{x}}+{\sqrt{x\sqrt{x+a}}}\) qui cesse d'avoir un diametre dans le cas ou \(a=0\), est different, ce me semble, de notre cas ; car c'est une courbe composée de branches égales & simetriques, dont toute une moitié disparoit dans le cas de \(a = 0\) (a cause que le radical \({\sqrt{xx+ax}}\) qu'on auroit en elevant l'Equation devient alors \(\pm x\)) et l'autre moitié de la courbe reste toute entière, ou plutot les deux moitiés forment des courbes differentes \(y=-\frac{1}{n-1(x^{n-1})}+\frac{1}{n-1}\) qui donne une branche positive & une branche negative, c'est la partie negative seulement qui disparoit selon vous, dans le cas de \(n=1\). Ainsy pour avoir un exemple ad rem, il faudroit, à mon avis, trouver une Equation de courbe qui eût une branche positive & une branche negative, & dont la branche negative devint imaginaire en supposant une certaine valeur a un coefficient ou a un exposant. 2°. quand vous auriés même trouvé un pareil exemple, il prouveroit seulement que l'on doit user de precaution dans l'application du calcul pour trouver les branches des courbes, mais il ne seroit pas decisif contre le cas dont il s'agit, à moins f. 227v que vous n'y fissiés voir directement quelque meprise. 3°. vous apportés des exemples, ou on se tromperoit en n'ayant egard qu'à l'Equation d'une courbe, pour en determiner les branches, & d'autres, comme celuy de la Parabole, ou l'on se tromperoit en n'ayant egard qu'a sa construction ; or dans l'exemple que je rapporte, le calcul et la construction geometrique paroissent d'accord, & c'est au moins un prejugé en sa faveur, mais j'avoüe que ce n'est qu'un prejugé. 4°. je ne scay s'il n'est pas possible de repondre a votre Equation \(e^{x} = y\). Vous supposés que le nombre \(e\) est toujours positif. Or moy qui soutiens que les nombres negatifs peuvent avoir des logarithmes réels, je diray que le nombre dont le logarithme est l'unité a deux valeurs réelles egales, l'une positive l'autre negative. Pour éclaircir cela encore davantage je dis que si on appelle \(a\) la soutangente d'une logarithmique, \(x\) une abscisse, \(g\) l'ordonnée qui repond a \(x = 0\), & que l'on prend pour l'unité, \(e\) l'ordonnée qui repond a \(x = a\) et qui represente le nombre dont le logarithme est \(1\), on aura \(\frac{e^{\frac{x}{a}}}{g^{\frac{x}{a}-1}}=y\) ; pour l'equation de la logarithmique. Or dans cette Equation \(e\) et \(g\) ne representent pas des constantes de signe arbitraire, elles representent les ordonnées qui repondent aux points ou \(x = 0\) & ou \(x = a\), & il faudroit etre sûr que ces ordonnées ne peuvent avoir qu'une valeur pour conclure que \(y\) negatif, rend \(x\) imaginaire [Note : dailleurs en supposant \(x = \frac{1}{2}\), on auroit \(y = \pm\sqrt{e}\) ce qui donne une valeur negative à \(y\).]. 5°. vous convenés que l'Equation \(dx =\frac{ dy}{y}\) prouve que le logarithme de \(-y\), & celuy de \(y\) ne different que d'une constante, mais vous pretendés que cette constante est imaginaire. Or cela me paroit bien difficile à concevoir. Car imaginés telle fonction de \(y\) que vous voudrés, qui soit le logarithme de \(y\) ; en faisant \(y\) negative dans cette fonction, elle deviendra le logarithme de \(-y\) ; c'est a dire, que selon vous, il faut trouver une fonction de \(y\), qui en faisant \(y\) negative, ne change point de valeur, excepté qu'il y naitra tout à coup une quantité imaginaire constante. Or j'avoüe que je ne puis me representer une fonction pareille. 6°. Toute la difficulté se reduit, ce me semble, à scavoir ce que c'est que \(\textrm{log}.\, -1\). Or ne pourroit on pas prouver qu'il est \(= 0\) par ce raisonnement ? \(-1 = \frac{1}{-1}\). Donc \(\textrm{Log}.\, -1 = \textrm{Log}.\, 1-\textrm{Log}.\, -1\) donc \(2 \textrm{Log}.\, -1 = \textrm{Log}.\, 1 = 0\). Donc \(\textrm{Log}.\, -1 = 0\).

f. 228rJe suis faché, Monsieur, de vous tant importuner sur cette matière par des objections qui sont peut etre fort mauvaises. Si vous croyés qu'elles meritent une reponse, je vous en auray bien de l'obligation : mais je crois devoir vous en parler aujourd'huy pour la dernière fois, & je respecte trop vos occupations pour vous en fatiguer d'avantage.

A l'Egard de M. Bernoully, je crois, puisque vous me le dites, qu'il a eu egard à la pression de l'athmosphere. Mais je ne m'en suis jamais douté en lisant ce qu'il a fait sur le sujet dont il s'agit. Je vois au contraire qu'il parle d'attraction, comme dans le § 11 de sa section 12, il dit que la colomne \(et\) est soutenüe en l'air par l'attraction de l'eau qui coule : que luy coutoit-il de dire que cette colomne etoit soutenüe par la pression de l'athmosphere en \(t\), combinée avec la pression sur \(NP\) & avec la pression de l'eau contenüe dans le canal \(Aft\) (je suppose que vous ayés devant les yeux sa figure 74). Dans le §. 12 il dit que latera canalis intorsum premuntur à columnâ aqueâ ; pourquoy n'a-t-il pas dit ab athmospherâ, vi quae fit aequalis vi columnae aquae etc. ? Il est vray que dans le § 16 il parle de 32 pieds, qui feroient croire qu'il a eu egard à la pression de l'atmosphere. Mais si j'entends bien ce qu'il dit en cet endroit la, il me semble qu'il n'a egard à cette pression qu'en tant qu'elle cause l'adherence des parties de l'eau et qu'il ne parle point de la pression de l'air sur les parois externes du vase. Quoy qu'il en soit, je suis fort aise qu'on puisse donner un sens exact à ce qu'il a avancé, et je suis fort content aussy de ne m'être point trompé ; mais il me paroit que ma methode pour determiner la pression est bien plus directe & bien plus lumineuse. Ce qui m'a empêché en partie d'avoir egard à la pression de l'athmosphere, c'est qu'il me paroit difficile de determiner cette pression, sur la surface inferieure de l'eau qui coule. Cependant si on veut evaluer cette pression à 32 pieds pour les surfaces superieure & inferieure, alors il n'y a qu'à substituer cette force, à celle que j'ay appellée force d'adherence active dans les art. 166 et suiv. de mon livre, jusqu'au 174, & l'on aura pour lors la Theorie de la pression en ayant egard au poids de l'athmosphere, & on pourroit faire sous de grands recipiens des experiences dont on compareroit le resultat avec celles qu'on feroit en plein air, ce qui seroit fort curieux.

Je n'ay pretendu vous envoyer dans mon memoire sur la Lune que le commencement d'un plus grand nombre de Recherches. Je conviens de la verité de tout ce que vous me dites, et je tacheray par la suite d'y satisfaire. Mais il falloit bien commencer par la [deter]mination de l'orbite, Probleme dont il me semble qu'on n'avoit point encore don[né une] f. 228v solution analytique. D'ailleurs il me semble que la methode que je donne pour trouver le mouvement des nœuds & l'inclinaison, renferme des methodes d'integration assés singulieres, & que d'ailleurs elle ne suppose point le soleil immobile, comme celle de M. Newton et de ceux qui l'ont suivi.

Je me suis appercu comme vous, Monsieur, de l'erreur de M. de Gua sur le point de rebroussement de la 2^de. Espece. J'en ay parlé, mais avec beaucoup de menagemens, dans le memoire sur le calcul integral que j'ay envoyé à vôtre academie le 6 Dec. dernier. J'y parle d'une courbe \(y=x^2±\sqrt{x^5}\), qui a un point de cette Espece à son origine, & j'y refute en passant le raisonnement de M. de Gua, qui consiste à negliger le terme \(\sqrt{x^5}\) & a ne prendre que \(y = x^2\) lorsque \(x = 0\). Comme j'ay fait il y a 7 ans dans le journal des savans l'extrait de cet ouvrage, et que j'ay loué alors de tres bonne foy cette pretendüe decouverte de M. de Gua, j'ay cru devoir a moy même & a la verité, de detromper ceux qui pourroient etre dans l'erreur, en menageant l'auteur dont j'estime les connoissances & les talens. Ce qu'il y a de facheux, c'est que cette erreur, dont je ne me suis appercu que depuis peu, influe sur presque tout son livre. J'ay l'honneur d'etre avec la plus grande consideration

Monsieur

Votre tres humble et tres obeissant serviteur

D'Alembert

à Paris ce 24 mars 1747.

A Monsieur,
Monsieur Euler ; membre des academies des sciences de Berlin & de Petersbourg
A Berlin