Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
Paris, Bibliothèque de l'Institut, Ms. 880, f. 20-21
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 263-267
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 20rMonsieur
Il est bien vrai que l'exemple de la courbe \(y=\surd{x}+\surd{x\surd{(x+a)}}\), qui perd dans le cas \(a=0\) subitement toute une moitié, ne prouve pas que la meme chose doive arriver dans la courbe \[y=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{(n-1)(x^{n-1}-1)}\] au cas \(n=1\) : aussi ne me suis-je pas servi de cet exemple que pour prouver la possibilité d'une telle evanouïssance dans un certain cas : et je n'en tire que cette conclusion, que quoique la derniere courbe ait toujours un diametre, quand \(n\) est un nombre non pair, pourtant cette consequence puisse peut être cesser d'être vraie au cas \(n=1\).
Par ce moïen il me semble que j'ai bien repondu à Votre objection, tirée de cette formule generale : quoique ce cas ne prouve rien pour ma these : car d'abord je m'étois proposé de faire voir que les argumens, qu'on allegue pour prouver la realité des logarithmes des nombres negatifs, n'étoient pas trop surs. Mais il me semble que ma theorie ne manque pas des preuves positives ; mais avant que de les étaler, il faut repondre à Votre objection fondée sur l'équation \(y = e^x\), où Vous penses que le nombre \(e^1\), puisse avoir egalement une valeur affirmative et negative : je conviens meme que sa valeur est tout à fait arbitraire, car si Vous mettes \(e=10\), l'exposant \(x\) sera le logarithme commun ou tabulaire du nombre \(y\), et si \(e=2,30\) etc. ou \[e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4} \textrm{etc.}\] \(x\) sera le logarithme hyperbolique du nombre \(y\). Mais dès qu'on assigne au nombre \(e\) une valeur determinée, le systeme entier des logarithmes de tous les nombres sera determiné, aussi bien que la courbe, dont l'equation \(y = e^x\) : et comme \(e\) est quasi son parametre, on ne pourra pas lui donner en meme tems deux valeurs differentes que la courbe ne devienne composée de deux courbes differentes. De même que l'equation parabolique \(yy=ax\), si l'on donnoit à \(a\) une double valeur par exemple \(a=+1\) et \(a=-1\), on auroit deux courbes differentes, qui ne seroient pas jointes par le lien de la continuité. Cela posé il me semble fort clair, que posant \[e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\ \textrm{etc.}\]f. 20vles logarithmes des nombres negatifs doivent être impossibles, vu qu'il est impossible de trouver une telle valeur de \(x\), que \(e^x\) ou\[1+\frac{x}{1}+\frac{xx}{1\cdot2}+\frac{x^3}{1\cdot2\cdot3}+\ \textrm{etc.}\]produise une valeur negative. Il Vous paroit paradoxe que les differentiels des \(\ell y\) et \(\ell-y\) soient les mêmes ; mais Vous m'accorderés pourtant cette égalité dans un sens plus general c.à.d. que \(d\cdot\ell y = d\cdot\ell a,y\), quelque nombre constant que soit \(a\), d'où je ne vois la moindre difficulté, pourquoi on le pourroit nier dans le cas \(a=-1\). Par le raisonnement que Vous prouves que \(\ell-1 = 0\), Vous prouveres également que \(\ell\surd{-1}=0\) : car puisque \(\surd{-1\cdot\surd{-1}=-1}\), Vous aures\[\ell\surd{-1}+\ell\surd{-1}=\ell-1,\]c.à.d. \(2,\ell\surd{-1}=\ell-1=\frac{1}{2},\ell +1\) et partant \(\ell\surd{-1}=\frac{1}{4},\ell 1=0\), et si Vous n'aprouves pas ce raisonnement, Vous m'accorderes que le premier n'est plus convainquant. Or Vous seres au moins d'accord, que les logarithmes des nombres imaginaires ne sont pas rééls : sans cela cette expression \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}\) ne sauroit exprimer la quadrature du cercle. Soit \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}=\alpha\), et Vous aures \(\ell\surd{-1}=\alpha\surd{-1}\) c.à.d. à une quantité imaginaire.
Si donc \(\ell\surd{-1}\) est imaginaire, pourquoi ne le seroit pas \(2,\ell\surd{-1}=\ell-1\). Ensuite comme \(\left(\frac{-1+\surd{-3}}{2}\right)^3=1\), suivant Votre raisonnement Vous auries \(3,\ell\frac{-1+\surd{-3}}{2}=\ell 1=0\) et le logarithme de \(\frac{-1+\surd{-3}}{2}\) seroit aussi bien \(=0\), que \(\ell +1\) et \(\ell -1\) et \(\ell\surd{-1}\) etc., ce qui n'est pas soutenable. Mais Vous m'oposeres, que meme \(\ell +1\) devroit etre imaginaire étant \(=2\ell-1=4\ell\surd{-1}=3\ell \frac{-1+\surd{-3}}{2}\) etc. Or c'est justement ce que je veux, car je dis que \(\ell+1\) a une infinité de valeurs differentes parmi lesquelles il y a une \(=0\), et toutes les autres sont imaginaires. Pour mieux expliquer cela, soient \(0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), \(\eta\), \(\theta\), \(\kappa\) etc. les logarithmes de l'unité : et je dis que les valeurs de \(\ell-1\) seront \(\frac{\alpha}{2}\) ; \(\frac{\gamma}{2}\) ; \(\frac{\varepsilon}{2}\) ; \(\frac{\eta}{2}\) ; etc. toutes imaginaires : de sorte pourtant que le double de chacune se trouve parmi les logarithmes de \(+1\) : mais il ne s'en suit pas que la moitié de chacune des valeurs du \(\ell+1\) se trouve parmi les \(\ell-1\) puisque \(-1\) n'est qu'une valeur de \(\surd{+1}\) l'autre etant \(+1\), dont les logarithmes sont \(\frac{0}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\delta}{2}\), \(\frac{\zeta}{2}\) qui sont justement les memes que \(0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), etc.
Car \(\frac{\beta}{2}=\alpha\), \(\frac{\delta}{2}=\beta\), \(\frac{\zeta}{2}=\gamma\), \(\frac{\theta}{2}=\delta\), etc. Pareillement comme les trois racines cubiques de \(1\) sont \(1, \frac{-1+\surd{-3}}{2}\) et \(\frac{-1-\surd{-3}}{2}\), les logarithmes de ces trois racines seront f. 21r \(\ell 1=\frac{0}{3}, \frac{\gamma}{3}, \frac{\zeta}{3}, \frac{\iota}{3}, \frac{\mu}{3}\) etc. les memes que \(0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\varepsilon\), etc., \(\ell\frac{-1+\surd{-3}}{2}=\frac{\alpha}{3}, \frac{\delta}{3}, \frac{\eta}{3}, \frac{\kappa}{3}, \frac{\nu}{3},\ \textrm{etc.}\),\[\ell\frac{-1-\surd{-3}}{2}=\frac{\beta}{3}, \frac{\varepsilon}{3}, \frac{\theta}{3}, \frac{\lambda}{3}, \frac{\xi}{3},\ \textrm{etc.},\]et ces lettres \(\alpha\), \(\eta\), \(\gamma\), \(\varepsilon\), etc. ne sont pas fondées sur une pure conjecture. J'ai eu l'honneur meme de Vous en marquer les veritables valeurs. Car soit \(\pi\) la circonference d'un cercle dont le rayon est \(=1\), et les valeurs du \(\ell+1\) sont \(0\) ; \(\pm\pi\surd{-1}\) ; \(\pm2\pi\surd{-1}\) ; \(\pm3\pi\surd{-1}\) ; \(\pm4\pi\surd{-1}\) ; \(\pm5\pi\surd{-1}\) ; etc. de \(\ell -1\) sont \(\pm\frac{1}{2}\pi\surd{-1}\) ; \(\pm\frac{3}{2}\pi\surd{-1}\) ; \(\pm\frac{5}{2}\pi\surd{-1}\) ; etc. : Et en general j'ai trouvé \[\ell 1^p=\pi(\mp+n)\surd{-1}, \ell(-1)^p=\pi\left(\frac{1}{2}p+\mp+n\right)\surd{-1}\] où \(m\) et \(n\) marquent des nombres entiers tant affirmatifs que negatifs quelconques. Par ce moien toutes les difficultés disparoissent tout à fait qu'on ne sauroit lever en aucune maniere, si l'on vouloit realiser les logarithmes des nombres negatifs, se fondant que \(2\ell -1=\ell +1=0\), puisque par le même raisonnement, on seroit obligé de dire que \(\ell\surd{-1}=0\) et \(\ell\frac{-1+\surd{-3}}{2}=0\).
Vous dites encore, Monsieur, que puisque \(e^x=y\), si \(x=\frac{1}{2}\) le nombre \(y\) peut être tant affirmatif que negativ : mais parce que \(e^x\) marque ici la valeur de cette serie \(1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot2}+\frac{x^3}{1\cdot2\cdot3}+\ \textrm{etc.}\) je crois d'y repondre très solidement, que \(e^x\) ne signifie jamais plus qu'une valeur, et cela l'affirmative, quand meme \(x\) seroit une fraction ou l'extraction de racine semble rendre la formule \(e^x\) équivoque.
Votre piece sur le mouvement de la Lune est sans doute de la derniere profondeur et Votre superiorité dans les calculs les plus difficiles y eclate partout. La remarque que j'ai pris la liberté de Vous ecrire, ne regardoit que l'application de Votre analyse à l'usage des tables astronomiques. Il s'agit pour cet effet des aproximations faciles pour le calcul, et il me sembloit que la manière dont Vous traités ce probleme, n'etoit pas trop propre par rapport à ces aproximations. Car ayant manié cette question de quantites de manières differentes, je n'ai trouvé qu'un seul chemin, qui fut propre pour l'usage astronomique : duquel j'ai aussi calculé mes tables de la Lune. Je suis donc d'autant plus curieux de voir la suite de Vos recherches sur cette matière, ayant l'honneur d'être avec la plus grande consideration.
Monsieur
Votre très humble & très obeissant serviteur
L. Euler
Berlin ce 15 Avril 1747.
f. 21vA Monsieur
Monsieur d'Alembert des Academies Royales des Sciences de Paris et de Berlin
a Paris
79.34  |  [janvier-mars 1779]
Grosley à D'Alembert
79.02  |  3 janvier 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.03  |  4 janvier [1779]
D'Alembert à Espagnac Marc René
79.04  |  5 janvier [1779]
Sabbathier à D'Alembert
79.05  |  6 janvier 1779
Flechier à D'Alembert
79.06  |  18 janvier 1779
Vausenville à D'Alembert
79.08  |  20 [janvier] 1779
Seguier à D'Alembert
79.07  |  20 janvier 1779
D'Alembert à Vausenville
79.09  |  24 janvier 1779
Choquet à D'Alembert
79.10  |  30 janvier 1779
Vausenville à D'Alembert
79.11  |  6 février 1779
Astori à D'Alembert
79.12  |  6 février [1779]
Non identifié à D'Alembert
A79.01  |  8 février 1779
Non identifié à D'Alembert
79.13  |  14 février 1779
Jabineau de la Voute à D'Alembert
79.15  |  [c. 15 février 1779]
Astori à D'Alembert
79.14  |  15 février 1779
D'Alembert à Jabineau de la Voute
79.16  |  18 février 1779
D'Alembert à Villemain
79.17  |  20 février 1779
Mornay Mme à D'Alembert
79.18  |  23 février 1779
Luchet à D'Alembert
79.19  |  24 février 1779
D'Alembert à Tollius
79.21  |  27 février [1779]
D'Alembert à Mercier de Saint Léger
79.20  |  27 février 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
79.22  |  3 mars 1779
Palissot à D'Alembert
79.23  |  4 mars 1779
Amelot de Chaillou à D'Alembert
79.24  |  6 mars 1779
D'Alembert à Lassone
79.25  |  10 mars 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
79.26  |  10 mars 1779
D'Alembert à Montbarrey
79.27  |  15 mars 1779
Tinseau à D'Alembert
79.29  |  20 mars 1779
Lagrange à D'Alembert
79.28  |  20 mars 1779
D'Alembert à Decroix
79.30  |  22 mars 1779
D'Alembert à Meslin
79.31  |  25 mars [1779]
D'Alembert à Decroix
79.32  |  26 mars 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
A79.02  |  27 mars 1779
D'Alembert à Mercure de France
79.33  |  28 mars [1779]
D'Alembert à Ginguené
79.35  |  13 avril [1779]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
79.36  |  14 avril 1779
Choiseul à D'Alembert
79.37  |  28 avril [1779]
D'Alembert à Frisi
79.38  |  29 avril 1779
Le Brun Ponce Denis à D'Alembert
79.40  |  30 avril 1779
D'Alembert à Lagrange
79.39  |  30 avril 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.41  |  23 mai 1779
D'Alembert à Non identifié
79.42  |  1 juin 1779
Ostervald à D'Alembert
79.43  |  2 juin 1779
Ansse de Villoison à D'Alembert
79.44  |  5 juin 1779
D'Alembert à Gadbled
79.45  |  5 juin 1779
Luchet à D'Alembert
79.46  |  6 juin 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.47  |  7 juin 1779
D'Alembert à Melanderhjelm
79.48  |  10 juin 1779
D'Alembert à Ostervald
79.49  |  17 juin 1779
Non identifié à D'Alembert
79.50  |  25 juin 1779
Lagrange à D'Alembert
79.51  |  2 juillet 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.52  |  5 juillet [1779]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
79.53  |  16 juillet 1779
D'Alembert à Hemsterhuys
79.54  |  17 juillet [1779]
Grosley à D'Alembert
79.56  |  18 juillet 1779
D'Alembert à Dotteville
79.55  |  18 [juillet 1779]
D'Alembert à Cadet de Vaux
79.60  |  [août 1779]
Malesherbes à D'Alembert
79.57  |  2 août 1779
Montausier à D'Alembert
79.58  |  11 août 1779
Argental à D'Alembert
79.59  |  29 août 1779
Saint Ange à D'Alembert
79.61  |  6 septembre 1779
Mimeure à D'Alembert
79.62  |  10 septembre 1779
D'Alembert à Lagrange
79.63  |  11 septembre 1779
D'Alembert à Frisi
A79.03  |  18 septembre 1779
D'Alembert à Mercure de France et Journal Encyclopédique
79.64  |  19 septembre 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.65  |  22 septembre 1779
D'Alembert à Melanderhjelm
79.66  |  25 septembre 1779
Dugast de la Bartherie à D'Alembert
79.67  |  29 septembre 1779
D'Alembert à Bertin
79.68  |  2 octobre 1779
D'Alembert à Caze de la Bove
79.69  |  7 octobre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.70  |  12 octobre 1779
Castillon à D'Alembert
79.71  |  16 octobre 1779
Borelly à D'Alembert
79.72  |  17 octobre 1779
Bertin à D'Alembert
79.73  |  [c. 15 novembre 1779]
D'Alembert à Aude
79.74  |  17 novembre 1779
D'Alembert à Fromant
79.75  |  19 novembre 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.76  |  23 novembre 1779
Non identifié à D'Alembert
A79.04  |  29 novembre 1779
Franqueville (La Tour) Mme à D'Alembert
79.77  |  3 décembre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.78  |  11 décembre 1779
Lagrange à D'Alembert
79.79  |  19 décembre 1779
Nerot à D'Alembert
79.80  |  [décembre 1779]
D'Alembert à Frédéric II