f. 22rMonsieur

Je profite du depart de M^r Delisle pour Vous repondre à Votre derniere lettre et de Vous recommender un jeune homme de notre Academie, qui a obtenu la permission d'accompagner M^r. Delisle. Il est fils d'un de nos Astronomes nommé Grischow qui, ayant dejà fait quelques progres dans l'astronomie croit ne pouvoir mieux emploier son tems, qu'en cherchant occasion de profiter des lumieres et de l'addresse des Astronomes de Paris, aupres desquels je Vous prie de lui faciliter l'acces et de l'honnorer particulierement de Votre bienveillance.

Pour notre controverse touchant les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires, j'espere qu'elle sera bientot terminée ; dans Votre piece sur les integrales, qui vient d'être imprimée dans le second Volume de nos memoires, j'ai suivant Vos ordres rayé l'article où Vous parliés du Log : \(-1\), et je crois que Vous seres en peu de tems entierement d'accord avec moi sur ce sujet. J'avoüe que la formule \(e^x\) doit avoir deux valeurs dans le cas \(x=\frac{1}{2}\) : mais Vous m'accorderes aussi que dans les autres cas la valeur de \(e^x\) ne peut pas etre negative, et comme il s'agit principalement du log : \(-1\), Vous ne pretendres pas que \(e^x\) puisse devenir \(= -1\), en supposant \(x=0\), ainsi cet argument ne prouve au moins rien pour Vous.

Quand Vous dites qu'on pourroit resoudre \(\ell -x\) dans une suite dont la valeur fut reelle, je n'en comprend rien, si ce n'est que les termes de la suite soient reels, mais on pourra de meme \(\surd{-x}\) resoudre dans une telle suite. Au reste je veux bien que ce que j'ai dit dans ma premiere lettre de la suite \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\textrm{etc.}\) ne prouve rien pour moi, de meme que l'ambiguité de \(e^x\) dans certains cas ne prouve rien contre moi, puisqu'on devroit aussi accorder trois valeurs quand \(x=\frac{1}{3}\), quatre quand \(x = \frac{1}{4}\) etc. mais cela meneroit trop loin.

f. 22vQuand Vous dites que la quantité \(e\) ne doit pas être considerée comme le parametre de la logarithmique, mais comme l'ordonnée qui repond à l'abscisse \(x = 1\) et qu'à cause de cela elle puisse être tant affirmative que negative, je pourrois dire avec autant de droit que la logarithmique a non seulement deux rames egaux et semblables selon les deux formules \(x=\ell+y\) et \(x=\ell-y\), mais aussi autant qu'on voudra \(x=\ell+y\), \(x=\ell\,my\) ; \(x=\ell ny\) etc. puisque toutes ces formules ont la meme differentielle \(dx = \frac{dy}{y}\). Pour ce qui regarde Votre transformation de \(e^x\) en \(\frac{e^\frac{x}{g}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) ou \(x:g\) comme un nombre impair à un pair, on se pourroit avec autant de droit imaginer cette formule que \(x:g = \textrm{pair}:\textrm{impair}\) ou impair : impair, et alors Vous ne trouveries pas Votre conte. Il me semble donc que toutes ces raisons ne sont pas asses fortes pour prouver que \(\ell+x=\ell-x\).

Ensuite Vous doutes si la formule tirée des sinus donne tous les logarithmes de \(-1\) ; mais je ne sai pas si un doute simple destitué de demonstration puisse renverser ce que j'avance : et pour la formule \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}\), je soutiens qu'elle ne renferme que les valeurs \(\pm\frac{(4n+1)\pi}{2}\), \(n\) marquant un nombre entier quelconque et \(\pi\) la circonference d'un cercle dont le diametre \(=1\), de sorte que cette formule ne puisse jamais devenir \(= 0\). Il est vrai, que mon sentiment est appuyé sur la formule tirée des sinus, mais je ne voi aucune raison, pourquoi cette formule ne donneroit tous les logarithmes de \(\surd{-1}\) et je crois toujours que les raisons pour sont plus fortes que celles contre.

Enfin dans la formule des arcs de cercles \[s=\surd{-1\cdot\ell(x+\surd{(xx-1))}},\] si \(x\) marque le cosinus de l'arc \(s\), je ne voi aucune raison de douter, que si \(x >1\), l'arc \(s\) ne soit une imaginaire simple \(b\surd{-1}\) de sorte que \(\ell (x+\surd{(xx-1))}=b\) ; et je ne croi pas que Vous prouveres le contraire.

J'ai communiqué à l'Académie une piece sur ce sujet, ou je crois avoir tellement mis dans son jour cette matiere, qu'au moins moi, je n'y trouve plus la moindre difficulté, quoiqu'auparavant j'aie été extremement embarassé.

J'ai l'honneur d'être avec toute la consideration possible

Monsieur
Votre très humble & très obeissant serviteur

L. Euler

Berlin ce 19^me Août 1747.

f. 23rP.S. Vous m'accordes que \(\ell+1=\pm 2n \pi\surd{-1}\) et que \(\ell-1=\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\) mais Vous dites Monsieur que parmi les logg : \(-1\) se trouve aussi \(0\) ; donc puisque deux logarithmes de \(-1\) ajoutés ensemble donnent \)\ell+1\), les logg. de +1 seront non seulement \(\pm2n\pi\surd{-1}\) mais aussi \(\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\). De plus Vous m'accordes que \(\ell\surd{-1}=\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\) et que \(\ell -\surd{-1}=\pm\frac{4n\pm1}{2}\pi\surd{-1}\), mais que ces formules ne contiennent pas tous les logg: de \(+\surd{-1}\) et de \(-\surd{-1}\), et qu'il s'y trouve aussi \(0\), donc puisque \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] P.S. Vous m'accordes que \(\ell+1=\pm 2n \pi\surd{-1}\) et que \(\ell-1=\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\) mais Vous dites Monsieur que parmi les logg : \(-1\) se trouve aussi \(0\) ; donc puisque deux logarithmes de \(-1\) ajoutés ensemble donnent \)\ell+1\), les logg. de +1 seront non seulement \(\pm2n\pi\surd{-1}\) mais aussi \(\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\). De plus Vous m'accordes que \(\ell\surd{-1}=\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\) et que \(\ell -\surd{-1}=\pm\frac{4n\pm1}{2}\pi\surd{-1}\), mais que ces formules ne contiennent pas tous les logg: de \(+\surd{-1}\) et de \(-\surd{-1}\), et qu'il s'y trouve aussi \(0\), donc puisque \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] le log. \(+1\) comprendra encore ces formules \(\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\). De meme si Vous dites que zero est aussi le logarithme des plus hautes racines imaginaires de \(1\), Vous seres enfin obligé de dire que tous les logarithmes de \(+1\) sont contenus dans cette formule \(\frac{m}{n}\pi\surd{-1}\) ou \(a\surd{-1}\), quelque quantité qu'on prenne pour \(a\) : de sorte que \(\ell+1\) deviendroit tout à fait indeterminé, consequence qui me paroit suffisante pour detruire Votre objection. Or suivant mon sentiment quand je dis que : \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] le log. \(+1\) comprendra encore ces formules \(\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\). De meme si Vous dites que zero est aussi le logarithme des plus hautes racines imaginaires de \(1\), Vous seres enfin obligé de dire que tous les logarithmes de \(+1\) sont contenus dans cette formule \(\frac{m}{n}\pi\surd{-1}\) ou \(a\surd{-1}\), quelque quantité qu'on prenne pour \(a\) : de sorte que \(\ell+1\) deviendroit tout à fait indeterminé, consequence qui me paroit suffisante pour detruire Votre objection. Or suivant mon sentiment quand je dis que :

\(\ell+1=0\) ; \(\pm2\pi\surd{-1}\) ; \(\pm4\pi\surd{-1}\) ; \(\pm6\pi\surd{-1}\) ; etc.,

\(\ell-1=\pm\pi\surd{-1}\) ; \(\pm3\pi\surd{-1}\) ; \(\pm5\pi\surd{-1}\) ; \(\pm7\pi\surd{-1}\) ; etc., \[\begin{align*} \ell+\surd{-1}=& +\frac{1}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{5}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{9}{2}\pi\surd{-1} ; \rm etc.,\\ & -\frac{3}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{7}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{11}{2}\pi\surd{-1}\\ \ell-\surd{-1}=& +\frac{3}{2}\pi\surd{-1} ;+\frac{7}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{11}{2}\pi\surd{-1} ; \rm etc.,\\ &-\frac{1}{2}\pi\surd{-1} ;-\frac{5}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{9}{2}\pi\surd{-1}. \end{align*}\] Vous trouveres la plus belle harmonie : car deux logg: quelconques de \(-1\) ajoutés ensemble produiront toujours un \(\ell+1\) ; deux logg. de \(+\surd{-1}\) ajoutés ensemble donneront toujours un \(\ell-1\) ; de meme que deux logg: de \(-\surd{-1}\) et un \(\ell+\surd{-1}\) et \(\ell-\surd{-1}\) donnera toujours un \(\ell+1\). Cette remarque seule me paroit suffisante pour Vous convaincre de la Verité de mon sentiment, au lieu que si Vous faites le moindre changement dans mes formules, Vous seres obligé de rendre les logarithmes de \(+1\) tout à fait indeterminés ; et je Vous prie de peser bien cet argument.