Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
Ms. 880, f. 22-23
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 270-272
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 22rMonsieur
Je profite du depart de Mr Delisle pour Vous repondre à Votre derniere lettre et de Vous recommender un jeune homme de notre Academie, qui a obtenu la permission d'accompagner Mr. Delisle. Il est fils d'un de nos Astronomes nommé Grischow qui, ayant dejà fait quelques progres dans l'astronomie croit ne pouvoir mieux emploier son tems, qu'en cherchant occasion de profiter des lumieres et de l'addresse des Astronomes de Paris, aupres desquels je Vous prie de lui faciliter l'acces et de l'honnorer particulierement de Votre bienveillance.
Pour notre controverse touchant les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires, j'espere qu'elle sera bientot terminée ; dans Votre piece sur les integrales, qui vient d'être imprimée dans le second Volume de nos memoires, j'ai suivant Vos ordres rayé l'article où Vous parliés du Log : \(-1\), et je crois que Vous seres en peu de tems entierement d'accord avec moi sur ce sujet. J'avoüe que la formule \(e^x\) doit avoir deux valeurs dans le cas \(x=\frac{1}{2}\) : mais Vous m'accorderes aussi que dans les autres cas la valeur de \(e^x\) ne peut pas etre negative, et comme il s'agit principalement du log : \(-1\), Vous ne pretendres pas que \(e^x\) puisse devenir \(= -1\), en supposant \(x=0\), ainsi cet argument ne prouve au moins rien pour Vous.
Quand Vous dites qu'on pourroit resoudre \(\ell -x\) dans une suite dont la valeur fut reelle, je n'en comprend rien, si ce n'est que les termes de la suite soient reels, mais on pourra de meme \(\surd{-x}\) resoudre dans une telle suite. Au reste je veux bien que ce que j'ai dit dans ma premiere lettre de la suite \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\textrm{etc.}\) ne prouve rien pour moi, de meme que l'ambiguité de \(e^x\) dans certains cas ne prouve rien contre moi, puisqu'on devroit aussi accorder trois valeurs quand \(x=\frac{1}{3}\), quatre quand \(x = \frac{1}{4}\) etc. mais cela meneroit trop loin.
f. 22vQuand Vous dites que la quantité \(e\) ne doit pas être considerée comme le parametre de la logarithmique, mais comme l'ordonnée qui repond à l'abscisse \(x = 1\) et qu'à cause de cela elle puisse être tant affirmative que negative, je pourrois dire avec autant de droit que la logarithmique a non seulement deux rames egaux et semblables selon les deux formules \(x=\ell+y\) et \(x=\ell-y\), mais aussi autant qu'on voudra \(x=\ell+y\), \(x=\ell\,my\) ; \(x=\ell ny\) etc. puisque toutes ces formules ont la meme differentielle \(dx = \frac{dy}{y}\). Pour ce qui regarde Votre transformation de \(e^x\) en \(\frac{e^\frac{x}{g}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) ou \(x:g\) comme un nombre impair à un pair, on se pourroit avec autant de droit imaginer cette formule que \(x:g = \textrm{pair}:\textrm{impair}\) ou impair : impair, et alors Vous ne trouveries pas Votre conte. Il me semble donc que toutes ces raisons ne sont pas asses fortes pour prouver que \(\ell+x=\ell-x\).
Ensuite Vous doutes si la formule tirée des sinus donne tous les logarithmes de \(-1\) ; mais je ne sai pas si un doute simple destitué de demonstration puisse renverser ce que j'avance : et pour la formule \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}\), je soutiens qu'elle ne renferme que les valeurs \(\pm\frac{(4n+1)\pi}{2}\), \(n\) marquant un nombre entier quelconque et \(\pi\) la circonference d'un cercle dont le diametre \(=1\), de sorte que cette formule ne puisse jamais devenir \(= 0\). Il est vrai, que mon sentiment est appuyé sur la formule tirée des sinus, mais je ne voi aucune raison, pourquoi cette formule ne donneroit tous les logarithmes de \(\surd{-1}\) et je crois toujours que les raisons pour sont plus fortes que celles contre.
Enfin dans la formule des arcs de cercles \[s=\surd{-1\cdot\ell(x+\surd{(xx-1))}},\] si \(x\) marque le cosinus de l'arc \(s\), je ne voi aucune raison de douter, que si \(x >1\), l'arc \(s\) ne soit une imaginaire simple \(b\surd{-1}\) de sorte que \(\ell (x+\surd{(xx-1))}=b\) ; et je ne croi pas que Vous prouveres le contraire.
J'ai communiqué à l'Académie une piece sur ce sujet, ou je crois avoir tellement mis dans son jour cette matiere, qu'au moins moi, je n'y trouve plus la moindre difficulté, quoiqu'auparavant j'aie été extremement embarassé.
J'ai l'honneur d'être avec toute la consideration possible
Monsieur
Votre très humble & très obeissant serviteur
L. Euler
Berlin ce 19me Août 1747.
f. 23rP.S. Vous m'accordes que \(\ell+1=\pm 2n \pi\surd{-1}\) et que \(\ell-1=\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\) mais Vous dites Monsieur que parmi les logg : \(-1\) se trouve aussi \(0\) ; donc puisque deux logarithmes de \(-1\) ajoutés ensemble donnent \)\ell+1\), les logg. de +1 seront non seulement \(\pm2n\pi\surd{-1}\) mais aussi \(\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\). De plus Vous m'accordes que \(\ell\surd{-1}=\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\) et que \(\ell -\surd{-1}=\pm\frac{4n\pm1}{2}\pi\surd{-1}\), mais que ces formules ne contiennent pas tous les logg: de \(+\surd{-1}\) et de \(-\surd{-1}\), et qu'il s'y trouve aussi \(0\), donc puisque \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] P.S. Vous m'accordes que \(\ell+1=\pm 2n \pi\surd{-1}\) et que \(\ell-1=\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\) mais Vous dites Monsieur que parmi les logg : \(-1\) se trouve aussi \(0\) ; donc puisque deux logarithmes de \(-1\) ajoutés ensemble donnent \)\ell+1\), les logg. de +1 seront non seulement \(\pm2n\pi\surd{-1}\) mais aussi \(\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\). De plus Vous m'accordes que \(\ell\surd{-1}=\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\) et que \(\ell -\surd{-1}=\pm\frac{4n\pm1}{2}\pi\surd{-1}\), mais que ces formules ne contiennent pas tous les logg: de \(+\surd{-1}\) et de \(-\surd{-1}\), et qu'il s'y trouve aussi \(0\), donc puisque \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] le log. \(+1\) comprendra encore ces formules \(\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\). De meme si Vous dites que zero est aussi le logarithme des plus hautes racines imaginaires de \(1\), Vous seres enfin obligé de dire que tous les logarithmes de \(+1\) sont contenus dans cette formule \(\frac{m}{n}\pi\surd{-1}\) ou \(a\surd{-1}\), quelque quantité qu'on prenne pour \(a\) : de sorte que \(\ell+1\) deviendroit tout à fait indeterminé, consequence qui me paroit suffisante pour detruire Votre objection. Or suivant mon sentiment quand je dis que : \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] le log. \(+1\) comprendra encore ces formules \(\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\). De meme si Vous dites que zero est aussi le logarithme des plus hautes racines imaginaires de \(1\), Vous seres enfin obligé de dire que tous les logarithmes de \(+1\) sont contenus dans cette formule \(\frac{m}{n}\pi\surd{-1}\) ou \(a\surd{-1}\), quelque quantité qu'on prenne pour \(a\) : de sorte que \(\ell+1\) deviendroit tout à fait indeterminé, consequence qui me paroit suffisante pour detruire Votre objection. Or suivant mon sentiment quand je dis que :
\(\ell+1=0\) ; \(\pm2\pi\surd{-1}\) ; \(\pm4\pi\surd{-1}\) ; \(\pm6\pi\surd{-1}\) ; etc.,
\(\ell-1=\pm\pi\surd{-1}\) ; \(\pm3\pi\surd{-1}\) ; \(\pm5\pi\surd{-1}\) ; \(\pm7\pi\surd{-1}\) ; etc., \[\begin{align*} \ell+\surd{-1}=& +\frac{1}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{5}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{9}{2}\pi\surd{-1} ; \rm etc.,\\ & -\frac{3}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{7}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{11}{2}\pi\surd{-1}\\ \ell-\surd{-1}=& +\frac{3}{2}\pi\surd{-1} ;+\frac{7}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{11}{2}\pi\surd{-1} ; \rm etc.,\\ &-\frac{1}{2}\pi\surd{-1} ;-\frac{5}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{9}{2}\pi\surd{-1}. \end{align*}\] Vous trouveres la plus belle harmonie : car deux logg: quelconques de \(-1\) ajoutés ensemble produiront toujours un \(\ell+1\) ; deux logg. de \(+\surd{-1}\) ajoutés ensemble donneront toujours un \(\ell-1\) ; de meme que deux logg: de \(-\surd{-1}\) et un \(\ell+\surd{-1}\) et \(\ell-\surd{-1}\) donnera toujours un \(\ell+1\). Cette remarque seule me paroit suffisante pour Vous convaincre de la Verité de mon sentiment, au lieu que si Vous faites le moindre changement dans mes formules, Vous seres obligé de rendre les logarithmes de \(+1\) tout à fait indeterminés ; et je Vous prie de peser bien cet argument.
67.01  |  5 janvier 1767
Servan à D'Alembert
67.02  |  7 janvier 1767
D'Alembert à Dutens
67.03  |  7 janvier 1767
Frisi à D'Alembert
67.04  |  10 janvier 1767
D'Alembert à Lagrange père
67.05  |  [11 janvier 1767]
Morellet à D'Alembert
67.06  |  15 janvier [1767]
D'Alembert à Servan
67.07  |  18 janvier [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.08  |  26 janvier 1767
D'Alembert à Voltaire
67.09  |  28 janvier 1767
Voltaire à D'Alembert
67.10  |  30 janvier 1767
Voltaire à D'Alembert
67.11  |  2 février 1767
D'Alembert à Le Brigant
67.12  |  3 février 1767
Catherine II à D'Alembert
67.13  |  6 février 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.14  |  7 février [1767]
D'Alembert à Lagrange
67.15  |  10 février 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.16  |  20 février 1767
Castillon à D'Alembert
67.17  |  23 février 1767
Lagrange à D'Alembert
67.18  |  26 février 1767
D'Alembert à Dutens
67.19  |  28 février 1767
D'Alembert à Grosley
67.20  |  6 mars 1767
Voltaire à D'Alembert
67.21  |  9 mars 1767
D'Alembert à Allamand
67.22  |  11 mars [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.23  |  11 mars [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.24  |  22 mars 1767
D'Alembert à Dutens
67.25  |  29 mars [1767]
D'Alembert à Descamps
67.26  |  3 avril 1767
D'Alembert à Descamps
67.27  |  4 avril 1767
D'Alembert à Lagrange
67.29  |  6 avril 1767
D'Alembert à Voltaire
67.28  |  6 avril 1767
D'Alembert à Hume David
67.30  |  10 avril 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.31  |  11 avril 1767
D'Alembert à Descamps
67.32  |  13 avril [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.33  |  23 avril 1767
D'Alembert à Non identifié
67.34  |  24 avril 1767
D'Alembert à Descamps
67.35  |  24 avril [1767]
D'Alembert à Lagrange
67.36  |  [18 ou 25 avril 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.37  |  30 avril 1767
Castillon à D'Alembert
67.38  |  3 mai [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.39  |  4 mai [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.40  |  5 mai 1767
Frédéric II à D'Alembert
67.41  |  9 mai [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.42  |  12 mai 1767
D'Alembert à Voltaire
67.43  |  14 mai 1767
D'Alembert à Hume David
67.44  |  23 mai 1767
D'Alembert à Voltaire
67.45  |  25 [mai 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.46  |  25 mai [1767]
Lagrange à D'Alembert
67.47  |  30 mai [1766 ou 1767]
D'Alembert à Hume David
67.48  |  31 mai 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.50  |  2 juin 1767
D'Alembert à Frisi
67.49  |  2 juin 1767
D'Alembert à Beccaria
67.51  |  2 juin [1767]
D'Alembert à Thibault de Longecour
67.53  |  4 juin [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.52  |  4 juin 1767
D'Alembert à Grosley
67.54  |  8 juin 1767
D'Alembert et Mlle de Lespinasse à Hume David
67.55  |  10 juin [1767]
D'Alembert à Thibault de Longecour
67.56  |  19 juin [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.58  |  22 juin [1767]
D'Alembert à Van Goens
67.57  |  22 juin [1767]
D'Alembert à Mandinet
67.58a  |  22 juin [1767]
D'Alembert à Grosley
67.59  |  25 juin [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.60  |  3 juillet 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.61  |  4 juillet [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.62  |  13 juillet [1767]
D'Alembert à Hume David
67.63  |  14 juillet [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.64  |  21 juillet [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.65  |  [25 juillet 1767]
Voltaire à D'Alembert
67.66  |  27 juillet [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.75  |  [avril-août 1767]
D'Alembert à Un libraire
67.67  |  3 [août 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.68  |  3 août [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.69  |  4 août [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.70  |  7 août [1767]
D'Alembert à Lagrange
67.71  |  10 août [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.72  |  14 août 1767
D'Alembert à Catherine II
67.73  |  14 août [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.74  |  17 août [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.81  |  [août-septembre 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.76  |  4 septembre [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.77  |  15 septembre 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.78  |  21 septembre 1767
D'Alembert à Lagrange
67.79  |  22 septembre [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.80  |  30 septembre [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.82  |  2 octobre 1767
D'Alembert à Frisi
67.83  |  9 octobre [1767]
D'Alembert à Hume David
67.84  |  4 novembre 1767
Voltaire à D'Alembert
67.85  |  9 novembre 1767
D'Alembert à Formey
67.86  |  14 novembre [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.87  |  20 novembre 1767
Beguelin à D'Alembert
67.88  |  20 novembre 1767
Lagrange à D'Alembert
67.89  |  8 décembre [1767]
D'Alembert à Hume David
67.90  |  14 décembre 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.91  |  24 décembre 1767
Saint Florentin à D'Alembert
67.92  |  26 décembre 1767
Voltaire à D'Alembert