Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
Ms. 880, f. 22-23
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 270-272
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 22rMonsieur
Je profite du depart de Mr Delisle pour Vous repondre à Votre derniere lettre et de Vous recommender un jeune homme de notre Academie, qui a obtenu la permission d'accompagner Mr. Delisle. Il est fils d'un de nos Astronomes nommé Grischow qui, ayant dejà fait quelques progres dans l'astronomie croit ne pouvoir mieux emploier son tems, qu'en cherchant occasion de profiter des lumieres et de l'addresse des Astronomes de Paris, aupres desquels je Vous prie de lui faciliter l'acces et de l'honnorer particulierement de Votre bienveillance.
Pour notre controverse touchant les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires, j'espere qu'elle sera bientot terminée ; dans Votre piece sur les integrales, qui vient d'être imprimée dans le second Volume de nos memoires, j'ai suivant Vos ordres rayé l'article où Vous parliés du Log : \(-1\), et je crois que Vous seres en peu de tems entierement d'accord avec moi sur ce sujet. J'avoüe que la formule \(e^x\) doit avoir deux valeurs dans le cas \(x=\frac{1}{2}\) : mais Vous m'accorderes aussi que dans les autres cas la valeur de \(e^x\) ne peut pas etre negative, et comme il s'agit principalement du log : \(-1\), Vous ne pretendres pas que \(e^x\) puisse devenir \(= -1\), en supposant \(x=0\), ainsi cet argument ne prouve au moins rien pour Vous.
Quand Vous dites qu'on pourroit resoudre \(\ell -x\) dans une suite dont la valeur fut reelle, je n'en comprend rien, si ce n'est que les termes de la suite soient reels, mais on pourra de meme \(\surd{-x}\) resoudre dans une telle suite. Au reste je veux bien que ce que j'ai dit dans ma premiere lettre de la suite \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\textrm{etc.}\) ne prouve rien pour moi, de meme que l'ambiguité de \(e^x\) dans certains cas ne prouve rien contre moi, puisqu'on devroit aussi accorder trois valeurs quand \(x=\frac{1}{3}\), quatre quand \(x = \frac{1}{4}\) etc. mais cela meneroit trop loin.
f. 22vQuand Vous dites que la quantité \(e\) ne doit pas être considerée comme le parametre de la logarithmique, mais comme l'ordonnée qui repond à l'abscisse \(x = 1\) et qu'à cause de cela elle puisse être tant affirmative que negative, je pourrois dire avec autant de droit que la logarithmique a non seulement deux rames egaux et semblables selon les deux formules \(x=\ell+y\) et \(x=\ell-y\), mais aussi autant qu'on voudra \(x=\ell+y\), \(x=\ell\,my\) ; \(x=\ell ny\) etc. puisque toutes ces formules ont la meme differentielle \(dx = \frac{dy}{y}\). Pour ce qui regarde Votre transformation de \(e^x\) en \(\frac{e^\frac{x}{g}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) ou \(x:g\) comme un nombre impair à un pair, on se pourroit avec autant de droit imaginer cette formule que \(x:g = \textrm{pair}:\textrm{impair}\) ou impair : impair, et alors Vous ne trouveries pas Votre conte. Il me semble donc que toutes ces raisons ne sont pas asses fortes pour prouver que \(\ell+x=\ell-x\).
Ensuite Vous doutes si la formule tirée des sinus donne tous les logarithmes de \(-1\) ; mais je ne sai pas si un doute simple destitué de demonstration puisse renverser ce que j'avance : et pour la formule \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}\), je soutiens qu'elle ne renferme que les valeurs \(\pm\frac{(4n+1)\pi}{2}\), \(n\) marquant un nombre entier quelconque et \(\pi\) la circonference d'un cercle dont le diametre \(=1\), de sorte que cette formule ne puisse jamais devenir \(= 0\). Il est vrai, que mon sentiment est appuyé sur la formule tirée des sinus, mais je ne voi aucune raison, pourquoi cette formule ne donneroit tous les logarithmes de \(\surd{-1}\) et je crois toujours que les raisons pour sont plus fortes que celles contre.
Enfin dans la formule des arcs de cercles \[s=\surd{-1\cdot\ell(x+\surd{(xx-1))}},\] si \(x\) marque le cosinus de l'arc \(s\), je ne voi aucune raison de douter, que si \(x >1\), l'arc \(s\) ne soit une imaginaire simple \(b\surd{-1}\) de sorte que \(\ell (x+\surd{(xx-1))}=b\) ; et je ne croi pas que Vous prouveres le contraire.
J'ai communiqué à l'Académie une piece sur ce sujet, ou je crois avoir tellement mis dans son jour cette matiere, qu'au moins moi, je n'y trouve plus la moindre difficulté, quoiqu'auparavant j'aie été extremement embarassé.
J'ai l'honneur d'être avec toute la consideration possible
Monsieur
Votre très humble & très obeissant serviteur
L. Euler
Berlin ce 19me Août 1747.
f. 23rP.S. Vous m'accordes que \(\ell+1=\pm 2n \pi\surd{-1}\) et que \(\ell-1=\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\) mais Vous dites Monsieur que parmi les logg : \(-1\) se trouve aussi \(0\) ; donc puisque deux logarithmes de \(-1\) ajoutés ensemble donnent \)\ell+1\), les logg. de +1 seront non seulement \(\pm2n\pi\surd{-1}\) mais aussi \(\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\). De plus Vous m'accordes que \(\ell\surd{-1}=\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\) et que \(\ell -\surd{-1}=\pm\frac{4n\pm1}{2}\pi\surd{-1}\), mais que ces formules ne contiennent pas tous les logg: de \(+\surd{-1}\) et de \(-\surd{-1}\), et qu'il s'y trouve aussi \(0\), donc puisque \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] P.S. Vous m'accordes que \(\ell+1=\pm 2n \pi\surd{-1}\) et que \(\ell-1=\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\) mais Vous dites Monsieur que parmi les logg : \(-1\) se trouve aussi \(0\) ; donc puisque deux logarithmes de \(-1\) ajoutés ensemble donnent \)\ell+1\), les logg. de +1 seront non seulement \(\pm2n\pi\surd{-1}\) mais aussi \(\pm(2n-1)\pi\surd{-1}\). De plus Vous m'accordes que \(\ell\surd{-1}=\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\) et que \(\ell -\surd{-1}=\pm\frac{4n\pm1}{2}\pi\surd{-1}\), mais que ces formules ne contiennent pas tous les logg: de \(+\surd{-1}\) et de \(-\surd{-1}\), et qu'il s'y trouve aussi \(0\), donc puisque \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] le log. \(+1\) comprendra encore ces formules \(\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\). De meme si Vous dites que zero est aussi le logarithme des plus hautes racines imaginaires de \(1\), Vous seres enfin obligé de dire que tous les logarithmes de \(+1\) sont contenus dans cette formule \(\frac{m}{n}\pi\surd{-1}\) ou \(a\surd{-1}\), quelque quantité qu'on prenne pour \(a\) : de sorte que \(\ell+1\) deviendroit tout à fait indeterminé, consequence qui me paroit suffisante pour detruire Votre objection. Or suivant mon sentiment quand je dis que : \[\ell+\surd{-1}\,+\,\ell-\surd{-1}=\ell+1,\] le log. \(+1\) comprendra encore ces formules \(\pm\frac{(4n\pm1)}{2}\pi\surd{-1}\). De meme si Vous dites que zero est aussi le logarithme des plus hautes racines imaginaires de \(1\), Vous seres enfin obligé de dire que tous les logarithmes de \(+1\) sont contenus dans cette formule \(\frac{m}{n}\pi\surd{-1}\) ou \(a\surd{-1}\), quelque quantité qu'on prenne pour \(a\) : de sorte que \(\ell+1\) deviendroit tout à fait indeterminé, consequence qui me paroit suffisante pour detruire Votre objection. Or suivant mon sentiment quand je dis que :
\(\ell+1=0\) ; \(\pm2\pi\surd{-1}\) ; \(\pm4\pi\surd{-1}\) ; \(\pm6\pi\surd{-1}\) ; etc.,
\(\ell-1=\pm\pi\surd{-1}\) ; \(\pm3\pi\surd{-1}\) ; \(\pm5\pi\surd{-1}\) ; \(\pm7\pi\surd{-1}\) ; etc., \[\begin{align*} \ell+\surd{-1}=& +\frac{1}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{5}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{9}{2}\pi\surd{-1} ; \rm etc.,\\ & -\frac{3}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{7}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{11}{2}\pi\surd{-1}\\ \ell-\surd{-1}=& +\frac{3}{2}\pi\surd{-1} ;+\frac{7}{2}\pi\surd{-1} ; +\frac{11}{2}\pi\surd{-1} ; \rm etc.,\\ &-\frac{1}{2}\pi\surd{-1} ;-\frac{5}{2}\pi\surd{-1} ; -\frac{9}{2}\pi\surd{-1}. \end{align*}\] Vous trouveres la plus belle harmonie : car deux logg: quelconques de \(-1\) ajoutés ensemble produiront toujours un \(\ell+1\) ; deux logg. de \(+\surd{-1}\) ajoutés ensemble donneront toujours un \(\ell-1\) ; de meme que deux logg: de \(-\surd{-1}\) et un \(\ell+\surd{-1}\) et \(\ell-\surd{-1}\) donnera toujours un \(\ell+1\). Cette remarque seule me paroit suffisante pour Vous convaincre de la Verité de mon sentiment, au lieu que si Vous faites le moindre changement dans mes formules, Vous seres obligé de rendre les logarithmes de \(+1\) tout à fait indeterminés ; et je Vous prie de peser bien cet argument.
79.34  |  [janvier-mars 1779]
Grosley à D'Alembert
79.02  |  3 janvier 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.03  |  4 janvier [1779]
D'Alembert à Espagnac Marc René
79.04  |  5 janvier [1779]
Sabbathier à D'Alembert
79.05  |  6 janvier 1779
Flechier à D'Alembert
79.06  |  18 janvier 1779
Vausenville à D'Alembert
79.08  |  20 [janvier] 1779
Seguier à D'Alembert
79.07  |  20 janvier 1779
D'Alembert à Vausenville
79.09  |  24 janvier 1779
Choquet à D'Alembert
79.10  |  30 janvier 1779
Vausenville à D'Alembert
79.11  |  6 février 1779
Astori à D'Alembert
79.12  |  6 février [1779]
Non identifié à D'Alembert
A79.01  |  8 février 1779
Non identifié à D'Alembert
79.13  |  14 février 1779
Jabineau de la Voute à D'Alembert
79.15  |  [c. 15 février 1779]
Astori à D'Alembert
79.14  |  15 février 1779
D'Alembert à Jabineau de la Voute
79.16  |  18 février 1779
D'Alembert à Villemain
79.17  |  20 février 1779
Mornay Mme à D'Alembert
79.18  |  23 février 1779
Luchet à D'Alembert
79.19  |  24 février 1779
D'Alembert à Tollius
79.21  |  27 février [1779]
D'Alembert à Mercier de Saint Léger
79.20  |  27 février 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
79.22  |  3 mars 1779
Palissot à D'Alembert
79.23  |  4 mars 1779
Amelot de Chaillou à D'Alembert
79.24  |  6 mars 1779
D'Alembert à Lassone
79.25  |  10 mars 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
79.26  |  10 mars 1779
D'Alembert à Montbarrey
79.27  |  15 mars 1779
Tinseau à D'Alembert
79.29  |  20 mars 1779
Lagrange à D'Alembert
79.28  |  20 mars 1779
D'Alembert à Decroix
79.30  |  22 mars 1779
D'Alembert à Meslin
79.31  |  25 mars [1779]
D'Alembert à Decroix
79.32  |  26 mars 1779
D'Alembert à Amelot de Chaillou
A79.02  |  27 mars 1779
D'Alembert à Mercure de France
79.33  |  28 mars [1779]
D'Alembert à Ginguené
79.35  |  13 avril [1779]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
79.36  |  14 avril 1779
Choiseul à D'Alembert
79.37  |  28 avril [1779]
D'Alembert à Frisi
79.38  |  29 avril 1779
Le Brun Ponce Denis à D'Alembert
79.40  |  30 avril 1779
D'Alembert à Lagrange
79.39  |  30 avril 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.41  |  23 mai 1779
D'Alembert à Non identifié
79.42  |  1 juin 1779
Ostervald à D'Alembert
79.43  |  2 juin 1779
Ansse de Villoison à D'Alembert
79.44  |  5 juin 1779
D'Alembert à Gadbled
79.45  |  5 juin 1779
Luchet à D'Alembert
79.46  |  6 juin 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.47  |  7 juin 1779
D'Alembert à Melanderhjelm
79.48  |  10 juin 1779
D'Alembert à Ostervald
79.49  |  17 juin 1779
Non identifié à D'Alembert
79.50  |  25 juin 1779
Lagrange à D'Alembert
79.51  |  2 juillet 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.52  |  5 juillet [1779]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
79.53  |  16 juillet 1779
D'Alembert à Hemsterhuys
79.54  |  17 juillet [1779]
Grosley à D'Alembert
79.56  |  18 juillet 1779
D'Alembert à Dotteville
79.55  |  18 [juillet 1779]
D'Alembert à Cadet de Vaux
79.60  |  [août 1779]
Malesherbes à D'Alembert
79.57  |  2 août 1779
Montausier à D'Alembert
79.58  |  11 août 1779
Argental à D'Alembert
79.59  |  29 août 1779
Saint Ange à D'Alembert
79.61  |  6 septembre 1779
Mimeure à D'Alembert
79.62  |  10 septembre 1779
D'Alembert à Lagrange
79.63  |  11 septembre 1779
D'Alembert à Frisi
A79.03  |  18 septembre 1779
D'Alembert à Mercure de France et Journal Encyclopédique
79.64  |  19 septembre 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.65  |  22 septembre 1779
D'Alembert à Melanderhjelm
79.66  |  25 septembre 1779
Dugast de la Bartherie à D'Alembert
79.67  |  29 septembre 1779
D'Alembert à Bertin
79.68  |  2 octobre 1779
D'Alembert à Caze de la Bove
79.69  |  7 octobre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.70  |  12 octobre 1779
Castillon à D'Alembert
79.71  |  16 octobre 1779
Borelly à D'Alembert
79.72  |  17 octobre 1779
Bertin à D'Alembert
79.73  |  [c. 15 novembre 1779]
D'Alembert à Aude
79.74  |  17 novembre 1779
D'Alembert à Fromant
79.75  |  19 novembre 1779
D'Alembert à Frédéric II
79.76  |  23 novembre 1779
Non identifié à D'Alembert
A79.04  |  29 novembre 1779
Franqueville (La Tour) Mme à D'Alembert
79.77  |  3 décembre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.78  |  11 décembre 1779
Lagrange à D'Alembert
79.79  |  19 décembre 1779
Nerot à D'Alembert
79.80  |  [décembre 1779]
D'Alembert à Frédéric II