Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
136/op2/2, f. 212-213
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 272-274
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D'Alembert (Paris) à Euler Leonhard (Berlin)
Cette lettre répond au courrier d’Euler du 19 août 1747 (47.06), apporté par Delisle, de retour à Paris le 15 septembre 1747 (voir lettre 47.06)..
f. 212rMonsieur
M. Grischow m'a remis la lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire. Je n'oublieray rien pour luy procurer dans ce pays-cy toutes les connoissances qui pourront luy etre utiles ; il m'a dit qu'il avoit deja vû M. Le Monnier, & qu'il avoit commencé à observer avec luy : l'interet que vous prenés à ce jeune homme est la plus grande recommandation qu'il puisse avoir aupres des savans de ce pays-cy, dont il n'y a aucun qui ne soit rempli pour vous de la plus grande estime.
Je crois comme vous que notre controverse sur les logarithmes sera bientôt terminée, et je ne doute point que je ne me rende entierement à votre avis apres avoir lu la pièce dont vous me parlés, & qui sera sans doute imprimée dans vos memoires. Je vous suis obligé d'avoir rayé dans mon memoire l'article du log. (-1) ; cependant quoyque je croye comme vous que les raisons pour sont plus fortes que celles contre, il me semble qu'il reste encore des difficultés que vous eclaircirés sans doute dans la piece dont vous me parlés.
f. 212vVous convenes que \(e^x\) a deux valeurs dans le cas de \(x=\frac{1}{2}\) & vous devés convenir par la meme raison qu'elle a deux valeurs dans la formule \(\frac{e^{\frac{x}{g}}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) toutes les fois que \(\frac{x}{g}=\frac{impair}{pair}\), or que faire de ces doubles valeurs si on ne dit pas que \(e\) a deux valeurs lorsque \(x = g\) et lorsque \(x = 0\) ? Je conviens que \(e^0\) n'a pas deux valeurs. Mais on peut prendre \(x\) si petite qu'on voudra, \& telle que \(e^x\) a deux valeurs ; \& cela ne peut il pas faire soupçonner que \(e\) a deux valeurs dans le cas \(x = 0\) ou \(x = g\). D'autant plus qu'il ne me paroit point prouvé que \(e\) soit un parametre. Vous dites, monsieur, que si \(x=\frac{1}{3}\), \(e^x\) aura 3 valeurs ; 4 si \(x=\frac{1}{4}\), mais prenés garde je vous prie qu'il n'y en aura jamais que deux réelles tout au plus. Quand je vous ai dit qu'on pouvoit resoudre \(\ell -x\) dans une suite réelle, je n'ay pas pretendu tirer de la aucune conclusion pour moy : car \(\sqrt{1-x}\) peut s'y resoudre aussy même lorsque \(x>1\) ; je voulois seulement repondre a votre argument tiré de \(e^x=1+x+\frac{xx}{2} \textrm{\&c}\). Vous dites encore, monsieur que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) prouveroit selon moy, que la logarithmique a une infinité de branches, a cause de \(x = \ell my\), \(x = \ell ny\) &c. ; je reponds que si on prend une valeur determinée de \(y\) pour l'unité, on voit clairement par l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) que la logarithmique ne peut avoir qu'une branche d'un meme côté de son asymp[t]ote ; car le 1er. \(y\) etant donné on a necessairement le 1er. \(dx\) correspondant et ainsy de suite, & si l'equation \(dx=\frac{dy}{y}\) semble donner differentes branches, c'est qu'on peut prendre pour l'unité ou pour le 1er. \(y\) tout ce qu'on veut ; de sorte que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) represente en effet plusieurs logarithmiques
f. 213r\(AB\), \(ab\), \(\alpha\beta\), qui ont toutes la meme soutangente, & dans lesquelles \(1\) est successivement \(= a\) \(PA, Pa, P\alpha,\) &c. de meme que l'Equation \(\frac{dx}{x}= \frac{dy}{y}\) represente une infinité de lignes droites & en general \(\frac{dx}{x}=\frac{n\,dy}{y}\) une infinité de paraboles de la meme espece & de differents parametres.
Votre difficulté principale est que le log.1 devroit etre selon moy tout à fait indeterminé. Je ne scay ce que vous allés penser de moy, mais il me semble que ce logarithme est en effet indeterminé ; car dans la logarithmique ordinaire, on peut prendre pour le logarithme de \(1\) une position quelconque de l'axe, et c'est une supposition arbitraire que de faire log.1 = 0. Ce qui me fait ecrire que la formule des sinus ne comprend pas tous les logarithmes de \(1\), c'est que parmy ces logarithmes je ne vois que zero, et des imaginaires, au lieu que la logarithmique en donne de réels. Je scay bien qu'en faisant log.1 \(= 0\) dans la logarithmique on ne trouve point d'autres valeurs de log.1. Mais comme la formule des sinus donne plusieurs logarithmes de Log.1 en faisant le 1er log.1 \(= 0\) ; il me semble qu'elle devroit aussy donner des logarithmes réels, puisque selon vous elle [donne tous les loga]rithmes.
[J'ai l'honneur d'être] avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre tres humble & tres obeissant serviteur
D'Alembert
[?]1747.
f. 213vA Monsieur
Monsieur Euler, professeur en Mathematique, directeur de l'academie Royale des Sciences de Prusse, et membre de l'academie imperiale de Petersbourg
a Berlin
63.01  |  [c. 10 janvier 1763]
D'Alembert à Catherine II
63.03  |  12 janvier [1763]
D'Alembert à Voltaire
63.02  |  12 janvier [1763]
D'Alembert à Turgot
63.04  |  15 janvier 1763
D'Alembert à Lesage Georges Louis
63.06  |  18 janvier [1763]
Voltaire à D'Alembert
63.05  |  18 janvier 1763
D'Alembert à Turgot
63.08  |  4 février 1763
Voltaire à D'Alembert
63.09  |  10 février 1763
D'Alembert à Abeille
63.10  |  12 février 1763
D'Alembert à Voltaire
63.11  |  13 février [1763]
D'Alembert à Turgot
63.13  |  21 février [1763]
Voltaire à D'Alembert
63.15  |  [août 1762-mars 1763]
D'Alembert à Beauclerk
63.16  |  [janvier-mars 1763]
D'Alembert à Non identifié
63.14  |  7 mars 1763
D'Alembert à Frédéric II
A63.02  |  [avril 1763]
D'Amilaville à D'Alembert
A63.01  |  1 avril 1763
Non identifié à D'Alembert
63.17  |  14 avril 1763
Frédéric II à D'Alembert
63.18  |  29 avril 1763
D'Alembert à Frédéric II
63.19  |  1er mai [1763]
Voltaire à D'Alembert
63.20  |  21 mai 1763
Saint Florentin à D'Alembert
63.21  |  [24 ou 31 mai 1763]
D'Alembert à Watelet
63.22  |  10 juin [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.23  |  13 juin [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.24  |  22 juin [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.25  |  24 juin [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.27  |  25 [juin 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.26  |  25 [juin 1763]
D'Alembert à Du Deffand (Vichy Chamron) Mme
63.28  |  27 juin [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.29  |  28 [juin 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.30  |  30 juin [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.31  |  1er juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.32  |  2 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.33  |  5 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.34  |  6 juillet 1763
D'Alembert à Frédéric II
63.35  |  7 juillet 1763
Du Deffand (Vichy Chamron) Mme à D'Alembert
63.36  |  9 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.37  |  12 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.39  |  [13 juillet 1763]
Henault à D'Alembert
63.38  |  13 juillet 1763
Necker Louis à D'Alembert
63.40  |  15 juillet [1763]
D'Alembert à Formey
63.41  |  16 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.42  |  16 juillet [1763]
D'Alembert à Morellet
63.43  |  18 [juillet 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.45  |  20 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.44  |  20 juillet 1763
D'Alembert à Euler Leonhard
63.46  |  22 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.47  |  23 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.48  |  25 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.49  |  [26] juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.50  |  26 juillet 1763
Euler Leonhard à D'Alembert
63.51  |  27 juillet [1763]
D'Alembert à Formey
63.52  |  28-29 juillet [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.53  |  29 juillet 1763
D'Alembert à Euler Leonhard
63.54  |  30 [juillet 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.55  |  1er août [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.56  |  7 août [1763]
D'Alembert à Voltaire
63.57  |  8 août [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.58  |  9 [août 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.59  |  13 août [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.60  |  14 août [1763]
D'Alembert à Euler Leonhard
63.62  |  15 août [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.61  |  15 août 1763
D'Alembert à Frédéric II
63.63  |  16 [août 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.64  |  16 [août 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.65  |  16 [août 1763]
Frédéric II à D'Alembert
63.67  |  7/18 août 1763
Catherine II à D'Alembert
63.66  |  18 [août 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.68  |  19 [août 1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.69  |  20 août 1763
D'Alembert à Euler Leonhard
63.70  |  22 août [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.74  |  [fin septembre 1763]
D'Alembert à Le Franc de Pompignan
63.71  |  3 septembre [1763]
D'Alembert à Lespinasse Mlle
63.72  |  21 septembre 1763
D'Alembert à Necker Louis
63.73  |  28 septembre [1763]
Voltaire à D'Alembert
63.80  |  [fin octobre 1763]
D'Alembert à Le Franc de Pompignan
63.81  |  [octobre 1763]
D'Alembert à Belgrado
63.75  |  1 octobre 1763
D'Alembert à Frisi
63.76  |  1 octobre 1763
D'Alembert à Lagrange
63.77  |  8 octobre [1763]
D'Alembert à Voltaire
63.78  |  14 [octobre 1763]
Le Franc de Pompignan à D'Alembert
63.79  |  17 octobre 1763
D'Alembert à Catherine II
63.82  |  21 novembre 1763
D'Alembert à Formey
63.83  |  8 décembre [1763]
D'Alembert à Voltaire
63.84  |  13 décembre [1763]
Voltaire à D'Alembert
63.85  |  15 décembre [1763]
Voltaire à D'Alembert
63.86  |  [20 décembre 1763]
Euler Leonhard à D'Alembert
63.87  |  29 décembre [1763]
D'Alembert à Voltaire