Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
136/op2/2, f. 212-213
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 272-274
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D'Alembert (Paris) à Euler Leonhard (Berlin)
Cette lettre répond au courrier d’Euler du 19 août 1747 (47.06), apporté par Delisle, de retour à Paris le 15 septembre 1747 (voir lettre 47.06)..
f. 212rMonsieur
M. Grischow m'a remis la lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire. Je n'oublieray rien pour luy procurer dans ce pays-cy toutes les connoissances qui pourront luy etre utiles ; il m'a dit qu'il avoit deja vû M. Le Monnier, & qu'il avoit commencé à observer avec luy : l'interet que vous prenés à ce jeune homme est la plus grande recommandation qu'il puisse avoir aupres des savans de ce pays-cy, dont il n'y a aucun qui ne soit rempli pour vous de la plus grande estime.
Je crois comme vous que notre controverse sur les logarithmes sera bientôt terminée, et je ne doute point que je ne me rende entierement à votre avis apres avoir lu la pièce dont vous me parlés, & qui sera sans doute imprimée dans vos memoires. Je vous suis obligé d'avoir rayé dans mon memoire l'article du log. (-1) ; cependant quoyque je croye comme vous que les raisons pour sont plus fortes que celles contre, il me semble qu'il reste encore des difficultés que vous eclaircirés sans doute dans la piece dont vous me parlés.
f. 212vVous convenes que \(e^x\) a deux valeurs dans le cas de \(x=\frac{1}{2}\) & vous devés convenir par la meme raison qu'elle a deux valeurs dans la formule \(\frac{e^{\frac{x}{g}}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) toutes les fois que \(\frac{x}{g}=\frac{impair}{pair}\), or que faire de ces doubles valeurs si on ne dit pas que \(e\) a deux valeurs lorsque \(x = g\) et lorsque \(x = 0\) ? Je conviens que \(e^0\) n'a pas deux valeurs. Mais on peut prendre \(x\) si petite qu'on voudra, \& telle que \(e^x\) a deux valeurs ; \& cela ne peut il pas faire soupçonner que \(e\) a deux valeurs dans le cas \(x = 0\) ou \(x = g\). D'autant plus qu'il ne me paroit point prouvé que \(e\) soit un parametre. Vous dites, monsieur, que si \(x=\frac{1}{3}\), \(e^x\) aura 3 valeurs ; 4 si \(x=\frac{1}{4}\), mais prenés garde je vous prie qu'il n'y en aura jamais que deux réelles tout au plus. Quand je vous ai dit qu'on pouvoit resoudre \(\ell -x\) dans une suite réelle, je n'ay pas pretendu tirer de la aucune conclusion pour moy : car \(\sqrt{1-x}\) peut s'y resoudre aussy même lorsque \(x>1\) ; je voulois seulement repondre a votre argument tiré de \(e^x=1+x+\frac{xx}{2} \textrm{\&c}\). Vous dites encore, monsieur que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) prouveroit selon moy, que la logarithmique a une infinité de branches, a cause de \(x = \ell my\), \(x = \ell ny\) &c. ; je reponds que si on prend une valeur determinée de \(y\) pour l'unité, on voit clairement par l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) que la logarithmique ne peut avoir qu'une branche d'un meme côté de son asymp[t]ote ; car le 1er. \(y\) etant donné on a necessairement le 1er. \(dx\) correspondant et ainsy de suite, & si l'equation \(dx=\frac{dy}{y}\) semble donner differentes branches, c'est qu'on peut prendre pour l'unité ou pour le 1er. \(y\) tout ce qu'on veut ; de sorte que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) represente en effet plusieurs logarithmiques
f. 213r\(AB\), \(ab\), \(\alpha\beta\), qui ont toutes la meme soutangente, & dans lesquelles \(1\) est successivement \(= a\) \(PA, Pa, P\alpha,\) &c. de meme que l'Equation \(\frac{dx}{x}= \frac{dy}{y}\) represente une infinité de lignes droites & en general \(\frac{dx}{x}=\frac{n\,dy}{y}\) une infinité de paraboles de la meme espece & de differents parametres.
Votre difficulté principale est que le log.1 devroit etre selon moy tout à fait indeterminé. Je ne scay ce que vous allés penser de moy, mais il me semble que ce logarithme est en effet indeterminé ; car dans la logarithmique ordinaire, on peut prendre pour le logarithme de \(1\) une position quelconque de l'axe, et c'est une supposition arbitraire que de faire log.1 = 0. Ce qui me fait ecrire que la formule des sinus ne comprend pas tous les logarithmes de \(1\), c'est que parmy ces logarithmes je ne vois que zero, et des imaginaires, au lieu que la logarithmique en donne de réels. Je scay bien qu'en faisant log.1 \(= 0\) dans la logarithmique on ne trouve point d'autres valeurs de log.1. Mais comme la formule des sinus donne plusieurs logarithmes de Log.1 en faisant le 1er log.1 \(= 0\) ; il me semble qu'elle devroit aussy donner des logarithmes réels, puisque selon vous elle [donne tous les loga]rithmes.
[J'ai l'honneur d'être] avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre tres humble & tres obeissant serviteur
D'Alembert
[?]1747.
f. 213vA Monsieur
Monsieur Euler, professeur en Mathematique, directeur de l'academie Royale des Sciences de Prusse, et membre de l'academie imperiale de Petersbourg
a Berlin
65.02  |  3 janvier [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.03  |  9 janvier [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.04  |  12 janvier 1765
D'Alembert à Lagrange
65.05  |  15 janvier 1765
Le Dran à D'Alembert
65.06  |  15 janvier [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.07  |  17 janvier [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.08  |  20 janvier 1765
D'Alembert à Le Dran
65.09  |  24 janvier 1765
D'Alembert à Frédéric II
65.10  |  25 janvier [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.11  |  26 janvier 1765
Lagrange à D'Alembert
65.12  |  4 février 1765
Keith à D'Alembert
65.13  |  5 février [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.14  |  8 février [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.15  |  27 février [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.16  |  1 mars 1765
D'Alembert à Frédéric II
65.17  |  2 mars [1765]
D'Alembert à Lagrange
65.18  |  16 mars 1765
Voltaire à D'Alembert
65.19  |  19 mars 1765
D'Alembert à Dutens
65.21  |  20 [mars 1765]
Lagrange à D'Alembert
65.20  |  20 [mars 1765]
D'Alembert à Hume David
65.22  |  22 mars 1765
D'Alembert à Hennert
65.23  |  24 mars 1765
Frédéric II à D'Alembert
65.24  |  25 mars [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.25  |  26 mars [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.26  |  3 avril [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.27  |  9 avril [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.28  |  11 avril 1765
Servan à D'Alembert
65.29  |  12 avril 1765
Sartine à D'Alembert
65.29a  |  14 avril 1765
D'Alembert à Golitsyn
65.30  |  15 avril 1765
D'Alembert à Catherine II
65.31  |  [c. 15 avril 1765]
La Chalotais à D'Alembert
65.32  |  16 avril [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.33  |  20 avril [1765]
D'Alembert à Non identifié
65.35  |  27 avril [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.34  |  27 avril [1765]
D'Alembert à La Chalotais
65.36  |  1er mai [1765]
Voltaire à D'Alembert
A65.01  |  2 mai 1765
D'Alembert à Mercure de France
65.37  |  3 mai 1765
D'Alembert à Frédéric II
65.38  |  4 mai [1765]
D'Alembert à Servan
A65.02  |  4 mai 1765
D'Alembert à Journal Encyclopédique
65.39  |  [c. 10 mai 1765]
Diderot à D'Alembert
65.40  |  18 mai [1765]
D'Alembert à Malesherbes
65.41  |  18 mai [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.42  |  27 mai [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.43  |  18 juin [1765]
D'Alembert à Lagrange
65.45  |  21 juin 1765
D'Alembert à Frisi
65.44  |  21 juin 1765
D'Alembert à Birch
65.46  |  24 juin [1765]
Voltaire à D'Alembert
A65.03  |  24 juin 1765
D'Alembert à Royal Society
65.47  |  [27 juin 1765]
Catherine II à D'Alembert
65.51  |  30 juin [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.50  |  30 juin [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.49  |  30 juin [1765]
D'Alembert à Lagrange
65.48  |  30 juin [1765]
D'Alembert à Frisi
65.52  |  6 juillet 1765
Lagrange à D'Alembert
65.53  |  8 juillet [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.54  |  9 juillet 1765
D'Alembert à Frisi
65.55  |  [16] juillet [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.56  |  18 juillet [1765]
D'Alembert à Malesherbes
65.57  |  19 juillet 1765
D'Alembert à Frédéric II
65.58  |  5 août [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.59  |  13 août [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.60  |  20 août 1765
Frédéric II à D'Alembert
65.61  |  24 août 1765
Beccaria à D'Alembert
65.62  |  28 août [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.63  |  6 septembre 1765
Lagrange à D'Alembert
65.64  |  16 [septembre 1765]
D'Alembert à Baculard d’Arnaud
65.65  |  18 septembre [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.67  |  28 septembre 1765
D'Alembert à Frisi
65.66  |  28 septembre 1765
D'Alembert à Beccaria
65.68  |  28 septembre 1765
D'Alembert à Journal Encyclopédique
65.69  |  28 septembre [1765]
D'Alembert à Lagrange
65.71  |  [mi-octobre 1765]
D'Alembert à Malesherbes
65.70  |  7 octobre [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.72  |  16 octobre [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.73  |  20 octobre 1765
Guigont à D'Alembert
65.74  |  26 octobre 1765
D'Alembert à Catherine II
65.75  |  28 octobre 1765
D'Alembert à Frédéric II
65.76  |  9 novembre 1765
Saint Florentin à D'Alembert
65.78  |  13 novembre 1765
Catt à D'Alembert
65.77  |  13 novembre 1765
Castillon à D'Alembert
65.79  |  21 novembre 1765
Catherine II à D'Alembert
65.80  |  22 novembre [1765]
D'Alembert à Voltaire
65.81  |  23 novembre 1765
Frédéric II à D'Alembert
65.82  |  2 décembre [1765]
Voltaire à D'Alembert
65.83  |  28 décembre [1765]
D'Alembert à Lagrange