Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
136/op2/2, f. 212-213
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 272-274
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D'Alembert (Paris) à Euler Leonhard (Berlin)
Cette lettre répond au courrier d’Euler du 19 août 1747 (47.06), apporté par Delisle, de retour à Paris le 15 septembre 1747 (voir lettre 47.06)..
f. 212rMonsieur
M. Grischow m'a remis la lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire. Je n'oublieray rien pour luy procurer dans ce pays-cy toutes les connoissances qui pourront luy etre utiles ; il m'a dit qu'il avoit deja vû M. Le Monnier, & qu'il avoit commencé à observer avec luy : l'interet que vous prenés à ce jeune homme est la plus grande recommandation qu'il puisse avoir aupres des savans de ce pays-cy, dont il n'y a aucun qui ne soit rempli pour vous de la plus grande estime.
Je crois comme vous que notre controverse sur les logarithmes sera bientôt terminée, et je ne doute point que je ne me rende entierement à votre avis apres avoir lu la pièce dont vous me parlés, & qui sera sans doute imprimée dans vos memoires. Je vous suis obligé d'avoir rayé dans mon memoire l'article du log. (-1) ; cependant quoyque je croye comme vous que les raisons pour sont plus fortes que celles contre, il me semble qu'il reste encore des difficultés que vous eclaircirés sans doute dans la piece dont vous me parlés.
f. 212vVous convenes que \(e^x\) a deux valeurs dans le cas de \(x=\frac{1}{2}\) & vous devés convenir par la meme raison qu'elle a deux valeurs dans la formule \(\frac{e^{\frac{x}{g}}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) toutes les fois que \(\frac{x}{g}=\frac{impair}{pair}\), or que faire de ces doubles valeurs si on ne dit pas que \(e\) a deux valeurs lorsque \(x = g\) et lorsque \(x = 0\) ? Je conviens que \(e^0\) n'a pas deux valeurs. Mais on peut prendre \(x\) si petite qu'on voudra, \& telle que \(e^x\) a deux valeurs ; \& cela ne peut il pas faire soupçonner que \(e\) a deux valeurs dans le cas \(x = 0\) ou \(x = g\). D'autant plus qu'il ne me paroit point prouvé que \(e\) soit un parametre. Vous dites, monsieur, que si \(x=\frac{1}{3}\), \(e^x\) aura 3 valeurs ; 4 si \(x=\frac{1}{4}\), mais prenés garde je vous prie qu'il n'y en aura jamais que deux réelles tout au plus. Quand je vous ai dit qu'on pouvoit resoudre \(\ell -x\) dans une suite réelle, je n'ay pas pretendu tirer de la aucune conclusion pour moy : car \(\sqrt{1-x}\) peut s'y resoudre aussy même lorsque \(x>1\) ; je voulois seulement repondre a votre argument tiré de \(e^x=1+x+\frac{xx}{2} \textrm{\&c}\). Vous dites encore, monsieur que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) prouveroit selon moy, que la logarithmique a une infinité de branches, a cause de \(x = \ell my\), \(x = \ell ny\) &c. ; je reponds que si on prend une valeur determinée de \(y\) pour l'unité, on voit clairement par l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) que la logarithmique ne peut avoir qu'une branche d'un meme côté de son asymp[t]ote ; car le 1er. \(y\) etant donné on a necessairement le 1er. \(dx\) correspondant et ainsy de suite, & si l'equation \(dx=\frac{dy}{y}\) semble donner differentes branches, c'est qu'on peut prendre pour l'unité ou pour le 1er. \(y\) tout ce qu'on veut ; de sorte que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) represente en effet plusieurs logarithmiques
f. 213r\(AB\), \(ab\), \(\alpha\beta\), qui ont toutes la meme soutangente, & dans lesquelles \(1\) est successivement \(= a\) \(PA, Pa, P\alpha,\) &c. de meme que l'Equation \(\frac{dx}{x}= \frac{dy}{y}\) represente une infinité de lignes droites & en general \(\frac{dx}{x}=\frac{n\,dy}{y}\) une infinité de paraboles de la meme espece & de differents parametres.
Votre difficulté principale est que le log.1 devroit etre selon moy tout à fait indeterminé. Je ne scay ce que vous allés penser de moy, mais il me semble que ce logarithme est en effet indeterminé ; car dans la logarithmique ordinaire, on peut prendre pour le logarithme de \(1\) une position quelconque de l'axe, et c'est une supposition arbitraire que de faire log.1 = 0. Ce qui me fait ecrire que la formule des sinus ne comprend pas tous les logarithmes de \(1\), c'est que parmy ces logarithmes je ne vois que zero, et des imaginaires, au lieu que la logarithmique en donne de réels. Je scay bien qu'en faisant log.1 \(= 0\) dans la logarithmique on ne trouve point d'autres valeurs de log.1. Mais comme la formule des sinus donne plusieurs logarithmes de Log.1 en faisant le 1er log.1 \(= 0\) ; il me semble qu'elle devroit aussy donner des logarithmes réels, puisque selon vous elle [donne tous les loga]rithmes.
[J'ai l'honneur d'être] avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre tres humble & tres obeissant serviteur
D'Alembert
[?]1747.
f. 213vA Monsieur
Monsieur Euler, professeur en Mathematique, directeur de l'academie Royale des Sciences de Prusse, et membre de l'academie imperiale de Petersbourg
a Berlin
67.01  |  5 janvier 1767
Servan à D'Alembert
67.02  |  7 janvier 1767
D'Alembert à Dutens
67.03  |  7 janvier 1767
Frisi à D'Alembert
67.04  |  10 janvier 1767
D'Alembert à Lagrange père
67.05  |  [11 janvier 1767]
Morellet à D'Alembert
67.06  |  15 janvier [1767]
D'Alembert à Servan
67.07  |  18 janvier [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.08  |  26 janvier 1767
D'Alembert à Voltaire
67.09  |  28 janvier 1767
Voltaire à D'Alembert
67.10  |  30 janvier 1767
Voltaire à D'Alembert
67.11  |  2 février 1767
D'Alembert à Le Brigant
67.12  |  3 février 1767
Catherine II à D'Alembert
67.13  |  6 février 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.14  |  7 février [1767]
D'Alembert à Lagrange
67.15  |  10 février 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.16  |  20 février 1767
Castillon à D'Alembert
67.17  |  23 février 1767
Lagrange à D'Alembert
67.18  |  26 février 1767
D'Alembert à Dutens
67.19  |  28 février 1767
D'Alembert à Grosley
67.20  |  6 mars 1767
Voltaire à D'Alembert
67.21  |  9 mars 1767
D'Alembert à Allamand
67.22  |  11 mars [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.23  |  11 mars [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.24  |  22 mars 1767
D'Alembert à Dutens
67.25  |  29 mars [1767]
D'Alembert à Descamps
67.26  |  3 avril 1767
D'Alembert à Descamps
67.27  |  4 avril 1767
D'Alembert à Lagrange
67.29  |  6 avril 1767
D'Alembert à Voltaire
67.28  |  6 avril 1767
D'Alembert à Hume David
67.30  |  10 avril 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.31  |  11 avril 1767
D'Alembert à Descamps
67.32  |  13 avril [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.33  |  23 avril 1767
D'Alembert à Non identifié
67.34  |  24 avril 1767
D'Alembert à Descamps
67.35  |  24 avril [1767]
D'Alembert à Lagrange
67.36  |  [18 ou 25 avril 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.37  |  30 avril 1767
Castillon à D'Alembert
67.38  |  3 mai [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.39  |  4 mai [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.40  |  5 mai 1767
Frédéric II à D'Alembert
67.41  |  9 mai [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.42  |  12 mai 1767
D'Alembert à Voltaire
67.43  |  14 mai 1767
D'Alembert à Hume David
67.44  |  23 mai 1767
D'Alembert à Voltaire
67.45  |  25 [mai 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.46  |  25 mai [1767]
Lagrange à D'Alembert
67.47  |  30 mai [1766 ou 1767]
D'Alembert à Hume David
67.48  |  31 mai 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.50  |  2 juin 1767
D'Alembert à Frisi
67.49  |  2 juin 1767
D'Alembert à Beccaria
67.51  |  2 juin [1767]
D'Alembert à Thibault de Longecour
67.53  |  4 juin [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.52  |  4 juin 1767
D'Alembert à Grosley
67.54  |  8 juin 1767
D'Alembert et Mlle de Lespinasse à Hume David
67.55  |  10 juin [1767]
D'Alembert à Thibault de Longecour
67.56  |  19 juin [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.58  |  22 juin [1767]
D'Alembert à Van Goens
67.57  |  22 juin [1767]
D'Alembert à Mandinet
67.58a  |  22 juin [1767]
D'Alembert à Grosley
67.59  |  25 juin [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.60  |  3 juillet 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.61  |  4 juillet [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.62  |  13 juillet [1767]
D'Alembert à Hume David
67.63  |  14 juillet [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.64  |  21 juillet [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.65  |  [25 juillet 1767]
Voltaire à D'Alembert
67.66  |  27 juillet [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.75  |  [avril-août 1767]
D'Alembert à Un libraire
67.67  |  3 [août 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.68  |  3 août [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.69  |  4 août [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.70  |  7 août [1767]
D'Alembert à Lagrange
67.71  |  10 août [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.72  |  14 août 1767
D'Alembert à Catherine II
67.73  |  14 août [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.74  |  17 août [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.81  |  [août-septembre 1767]
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
67.76  |  4 septembre [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.77  |  15 septembre 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.78  |  21 septembre 1767
D'Alembert à Lagrange
67.79  |  22 septembre [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.80  |  30 septembre [1767]
Voltaire à D'Alembert
67.82  |  2 octobre 1767
D'Alembert à Frisi
67.83  |  9 octobre [1767]
D'Alembert à Hume David
67.84  |  4 novembre 1767
Voltaire à D'Alembert
67.85  |  9 novembre 1767
D'Alembert à Formey
67.86  |  14 novembre [1767]
D'Alembert à Voltaire
67.87  |  20 novembre 1767
Beguelin à D'Alembert
67.88  |  20 novembre 1767
Lagrange à D'Alembert
67.89  |  8 décembre [1767]
D'Alembert à Hume David
67.90  |  14 décembre 1767
D'Alembert à Frédéric II
67.91  |  24 décembre 1767
Saint Florentin à D'Alembert
67.92  |  26 décembre 1767
Voltaire à D'Alembert