f. 212rMonsieur

M. Grischow m'a remis la lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire. Je n'oublieray rien pour luy procurer dans ce pays-cy toutes les connoissances qui pourront luy etre utiles ; il m'a dit qu'il avoit deja vû M. Le Monnier, & qu'il avoit commencé à observer avec luy : l'interet que vous prenés à ce jeune homme est la plus grande recommandation qu'il puisse avoir aupres des savans de ce pays-cy, dont il n'y a aucun qui ne soit rempli pour vous de la plus grande estime.

Je crois comme vous que notre controverse sur les logarithmes sera bientôt terminée, et je ne doute point que je ne me rende entierement à votre avis apres avoir lu la pièce dont vous me parlés, & qui sera sans doute imprimée dans vos memoires. Je vous suis obligé d'avoir rayé dans mon memoire l'article du log. (-1) ; cependant quoyque je croye comme vous que les raisons pour sont plus fortes que celles contre, il me semble qu'il reste encore des difficultés que vous eclaircirés sans doute dans la piece dont vous me parlés.

f. 212vVous convenes que \(e^x\) a deux valeurs dans le cas de \(x=\frac{1}{2}\) & vous devés convenir par la meme raison qu'elle a deux valeurs dans la formule \(\frac{e^{\frac{x}{g}}}{a^{\frac{x}{g}-1}}\) toutes les fois que \(\frac{x}{g}=\frac{impair}{pair}\), or que faire de ces doubles valeurs si on ne dit pas que \(e\) a deux valeurs lorsque \(x = g\) et lorsque \(x = 0\) ? Je conviens que \(e^0\) n'a pas deux valeurs. Mais on peut prendre \(x\) si petite qu'on voudra, \& telle que \(e^x\) a deux valeurs ; \& cela ne peut il pas faire soupçonner que \(e\) a deux valeurs dans le cas \(x = 0\) ou \(x = g\). D'autant plus qu'il ne me paroit point prouvé que \(e\) soit un parametre. Vous dites, monsieur, que si \(x=\frac{1}{3}\), \(e^x\) aura 3 valeurs ; 4 si \(x=\frac{1}{4}\), mais prenés garde je vous prie qu'il n'y en aura jamais que deux réelles tout au plus. Quand je vous ai dit qu'on pouvoit resoudre \(\ell -x\) dans une suite réelle, je n'ay pas pretendu tirer de la aucune conclusion pour moy : car \(\sqrt{1-x}\) peut s'y resoudre aussy même lorsque \(x>1\) ; je voulois seulement repondre a votre argument tiré de \(e^x=1+x+\frac{xx}{2} \textrm{\&c}\). Vous dites encore, monsieur que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) prouveroit selon moy, que la logarithmique a une infinité de branches, a cause de \(x = \ell my\), \(x = \ell ny\) &c. ; je reponds que si on prend une valeur determinée de \(y\) pour l'unité, on voit clairement par l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) que la logarithmique ne peut avoir qu'une branche d'un meme côté de son asymp[t]ote ; car le 1^er. \(y\) etant donné on a necessairement le 1^er. \(dx\) correspondant et ainsy de suite, & si l'equation \(dx=\frac{dy}{y}\) semble donner differentes branches, c'est qu'on peut prendre pour l'unité ou pour le 1^er. \(y\) tout ce qu'on veut ; de sorte que l'Equation \(dx=\frac{dy}{y}\) represente en effet plusieurs logarithmiques

f. 213r\(AB\), \(ab\), \(\alpha\beta\), qui ont toutes la meme soutangente, & dans lesquelles \(1\) est successivement \(= a\) \(PA, Pa, P\alpha,\) &c. de meme que l'Equation \(\frac{dx}{x}= \frac{dy}{y}\) represente une infinité de lignes droites & en general \(\frac{dx}{x}=\frac{n\,dy}{y}\) une infinité de paraboles de la meme espece & de differents parametres.

Votre difficulté principale est que le log.1 devroit etre selon moy tout à fait indeterminé. Je ne scay ce que vous allés penser de moy, mais il me semble que ce logarithme est en effet indeterminé ; car dans la logarithmique ordinaire, on peut prendre pour le logarithme de \(1\) une position quelconque de l'axe, et c'est une supposition arbitraire que de faire log.1 = 0. Ce qui me fait ecrire que la formule des sinus ne comprend pas tous les logarithmes de \(1\), c'est que parmy ces logarithmes je ne vois que zero, et des imaginaires, au lieu que la logarithmique en donne de réels. Je scay bien qu'en faisant log.1 \(= 0\) dans la logarithmique on ne trouve point d'autres valeurs de log.1. Mais comme la formule des sinus donne plusieurs logarithmes de Log.1 en faisant le 1^er log.1 \(= 0\) ; il me semble qu'elle devroit aussy donner des logarithmes réels, puisque selon vous elle [donne tous les loga]rithmes.

[J'ai l'honneur d'être] avec la plus parfaite consideration

Monsieur
Votre tres humble & tres obeissant serviteur

D'Alembert

[?]1747.

f. 213vA Monsieur
Monsieur Euler, professeur en Mathematique, directeur de l'academie Royale des Sciences de Prusse, et membre de l'academie imperiale de Petersbourg
a Berlin