f. 404rMonsieur

Il y a bien longtems que je n'ay recu de Vos nouvelles, & de mon côté j'ay eu tant de choses à faire depuis quelque tems, que je n'ay pu trouver le moment d'avoir l'honneur de Vous ecrire. M. Clairaut s'etoit chargé de Vous mander que vous aviés remporté notre prix & votre piece le meritoit bien. Quelques uns des commissaires ont trouvé que vous auriés du demontrer les propositions fondamentales, et vous etendre un peu plus sur les details : peu s'en est fallu que cette raison, qui n'est pas trop bonne, n'ait fait remettre le prix ; mais cette injustice me parût si criante, que je declaray aux commissaires que s'ils prenoient ce parti, je ne signerois point l'arrêté, et M. Clairaut etoit ainsy que moy, d'avis de vous le donner. Je me flatte que vous aurés encore ce prix dans deux ans ; car vous avés deja tant d'avance sur vos concurrens, qu'il est bien difficile qu'ils vous rattrapent. Ce qui m'a plû davantage dans votre piece c'est la maniere dont vous trouvés par une serie l'expression de \(\overline{1-g\cos{\omega}}^{-\mu}\) et l'usage que vous en faites. Il me semble cependant que quand vous en venés a avoir egard à l'excentricité de Jupiter, cette methode n'est plus si bonne parce que l'expression du rayon vecteur renferme des arcs de cercle, en suivant votre methode. Mais il me semble qu'on peut empêcher qu'elle n'en renferme, par la consideration du mouvement de l'aphelie de Jupiter, et je vois que vous avés fait cette remarque ; mais je ne scay pourquoy vous n'en avés pas fait plus d'usage. J'ay observé que si dans le calcul du mouvement de la Terre alteré par l'attraction de la Lune, on a egard aux deux excentricités, et qu'on neglige le mouvement de l'apogée de la Lune f. 404v on rencontre des arcs de cercle dans l'expression du rayon vecteur, au lieu que si on a egard à ce mouvement de l'apogée, on ne trouve plus qu'un terme fort petit, au lieu de celuy qui donnoit un arc de cercle, je ne doute point que de votre côté vous n'ayiés deja fait cette remarque ; et je crois qu'en ne faisant entrer que des sinus & des cosinus dans l'Equation de l'orbite de Saturne, votre methode pour reduire \(\overline{1-g\cos{\omega}}^{-\mu}\) en suite, s'y appliquera avec beaucoup plus d'avantage. Je ne scay pas non plus pourquoy dans l'integration de l'Equation \(ddr+\mu \mu r d\omega ^{2}\) &c. vous faites \(r=A\cos \omega +B\cos 2\omega\), &c. Il me semble que \(r\) doit aussy renfermer le cos. de \(\mu\omega\) & il est certain si je ne me trompe que si les deux orbites, abstraction faite de l'action mutuelle des deux planetes, devoient être parfaitement circulaires, la quantité \(r\) devroit renfermer le cos. de \(\mu\omega\), c'est a dire le cosinus de l'anomalie de Saturne. Il est vray que cela ne nuit point au reste de votre Dissertation ou vous avés egard aux deux excentricités, mais je crois cependant que vous n'auriés pas du avancer sans restriction que la quantité \(r\) ne depend que du cosinus de l'Elongation. Si je me trompe en cela, je vous prie de me redresser.

J'ay comparé de nouveau, & avec encore plus d'exactitude la Theorie de la Lune avec les tables de M. Newton, et je trouve encore de plus grandes differences que celles que j'ay eu l'honneur de vous marquer, de sorte que je commence a avoir bien de la peine à croire qu'on puisse connoitre le mouvement de la Lune mieux que par des observations immediates. Cependant, j'ay observé que le mouvement des nœuds et l'Equation de ce mouvement, ainsy que la variation f. 405r de l'inclinaison, telles que la Theorie les donne, repondent assés bien aux observations, et c'est ce qui me fait croire que l'action du Soleil sur la Lune a beaucoup de part aux inegalités que nous appercevons dans son mouvement, et que les autres inegalités qui ne peuvent etre expliquées par la Theorie de Newton, sont dües à une force qui vient de la Terre, et qui n'agit point suivant une fonction de la distance, mais suivant quelque autre loy qui nous est inconnüe. Cette force si elle existe ne doit produire aucun changement dans le mouvement des nœuds ny dans l'inclinaison, et c'est peut etre pour cela que le mouvement des nœuds est à peu prés tel qu'il doit etre en vertu de l'action du Soleil. La variation de l'aiguille aimantée prouve qu'il y a une force qui vient de la Terre & qui agit suivant differentes loyx selon les meridiens ou l'aiguille se trouve. Cette force pourroit s'etendre jusqu'à la Lune, en observant la même loy ou des loyx differentes, et en devenant meme repulsive d'attractive qu'elle etoit, et il pourroit etre assés curieux d'examiner si les loyx du mouvement de la Lune ne s'accorderoient pas avec les phenomenes de la variation ; mais je sens que c'est là une furieuse besogne.

J'avois prié M. de Maupertuis de faire paroitre dans votre premier volume mes recherches sur la courbe tendüe mise en vibration, et mon memoire qui a pour titre : Idée generale d'une methode pour determiner les orbites des planetes &c. datté si je ne me trompe du 27 ou 28 Decembre 1746. Comme j'ay resolu de publier à part f. 405v mon travail sur cette matiére ; j'ecris à M. de Maupertuis de ne point faire imprimer ce dernier memoire, et de mettre à la place la suite de mes recherches sur la corde tendüe, ou la suite de mes recherches sur le calcul intégral, à son choix. Je vous supplie de vouloir bien veiller à ce que cela s'execute, car M. de Maupertuis a tant d'affaires qu'il pourroit l'oublier. Je voudrois savoir aussy ce que vous pensés de ce que j'ay eu l'honneur de vous mander en dernier lieu sur les logarithmes imaginaires. Continués, monsieur, à remporter nos prix, et soyés persuadé que je seroy charmé d'etre dans le cas de vous rendre la justice qui vous est düe, etant avec la plus parfaite consideration

Monsieur
Votre tres humble et tres obeissant serviteur

D'alembert

Paris 17 juin 1748.

A Monsieur
Monsieur Euler membre des academies des sciences de Berlin & de Petersbourg
A Berlin