Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
Ms. 880, f. 15-16
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 297-299
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 15rMonsieur,
J'espere que Vous aures bien reçu ma derniere lettre, dont Mr. de Maupertuis a eu la bonté de se charger : celle-cy Vous sera remise par Mr. Battier mon Cousin et Membre de notre Academie, qui ayant le dessein de s'appliquer de toutes ses forces aux mathematiques à Paris, m'a fort prié de lui procurer l'honneur de Votre connoissance. Comme je suis bien seur que Vous le trouverés digne de Votre affection, j'espere que Vous ne me saures pas mauvais gré de cette recommendation et que Vous ne lui refuseres point le secours de Vos lumieres, dont il aura besoin dans la poursuite de ses etudes mathematiques.
J'ai consideré dernierement la courbe \(AM\), qui etant rapportée à l'axe \(CQ\) perpendiculaire à la droite donnée \(AC = 1\), a cette proprieté que l'appliquée \(QM = u\) qui repond à l'abscisse \(CQ = t\), est egale à l'arc \(AQ\) d'un quart de l'ellipse dont les deux demi-axes sont \(AC = 1\) et \(CQ = t\). On voit d'abord que si \(CQ = t\) evanouït, alors l'appliquée \(QM = u\) devient \(= CA = 1\), de sorte que la courbe \(AM\) sera à peu près semblable à une hyperbole équilaterale dont le centre est en \(C\) : car elle aura aussi f. 15v des aymptotes qui passent par le point \(C\), et qui font un angle demi-droit avec \(CA\). Il n'est pas difficile d'exprimer la nature de cette courbe par une équation differentio-differentielle, qui supposant l'element \(dt\) constant, sera \(\frac{ddu}{dt^2}=\frac{(1+tt)du}{t(1-tt)dt}-\frac{u}{1-tt}\). De là il semble d'abord qu'il ne sera pas difficile d'exprimer la valeur de \(u\) par une telle series \(u=1+Att+Bt^4+Ct^6+Dt^8+\textrm{etc}.\) mais Vous verres avec bien de la surprise, que tous ces coefficiens \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), etc. deviennent infinis. Quoique cette équation ne serve de rien pour la connoissance de cette courbe, il s'ensuit de là, que le rayon de la developpée de cette courbe en \(A\) est infiniment petit. Mais je voudrois voir l'equation entre les coordonnées \(AP = x\) et \(PM = y\), qui exprimât seulement la nature d'une portion infiniment petite de la courbe auprès de \(A\). Cette équation aura une telle forme \(y=\alpha x^n\) selon Vos remarques, et puisque la tangente en \(A\) est perpendiculaire à l'abscisse \(AP\), il sera \(n < 1\), et puisque la courbure en \(A\) est infiniment grande il y aura \(n >\frac{1}{2}\) ; mais quelque Valeur entre ces deux limites, que Vous ne donnies à \(n\) elle ne satisfera jamais à l'équation differentio-differentielle. En voicy donc un cas bien étrange, dont je suis curieux de voir si Votre solution sera d'accord avec la mienne.
J'ai l'honneur d'être avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre très humble et très obeïssant serviteur
L. Euler
Berlin ce 27 Dec 1748
83.02  |  3 janvier 1783
D'Alembert à Delatour
83.03  |  5 janvier 1783
D'Alembert à Guerin de Vence
83.04  |  12 janvier 1783
D'Alembert à Decroix
83.05  |  18 janvier 1783
Epinay (Tardieu d'Esclavelles) Mme à D'Alembert
83.06  |  19 janvier 1783
D'Alembert à Epinay (Tardieu d'Esclavelles) Mme
83.07  |  21 janvier 1783
Caracciolo à D'Alembert
A83.01  |  27 janvier 1783
D'Alembert à Non identifié
83.08  |  30 janvier 1783
Amelot de Chaillou à D'Alembert
83.09  |  2 février 1783
D'Alembert à Delandine
83.09a  |  [9 février 1783]
D'Alembert à Florian
83.10  |  10 février 1783
Rapedius de Berg à D'Alembert
83.12  |  14 février 1783
D'Alembert à Melanderhjelm
83.11  |  14 février [1783]
D'Alembert à Catt
83.13  |  14 février 1783
D'Alembert à Prevost
83.14  |  16 février 1783
D'Alembert à Frédéric II
83.15  |  21 février 1783
D'Alembert à Rapedius de Berg
83.16  |  23 février 1783
D'Alembert à Frisi
83.17  |  12 mars 1783
Rapedius de Berg à D'Alembert
83.18  |  25 mars [1783]
Joseph II à D'Alembert
83.19  |  1 avril 1783
D'Alembert à Rapedius de Berg
83.20  |  5 avril 1783
D'Alembert à Frédéric II
83.21  |  [6 avril 1783]
D'Alembert à Buffevent
83.22  |  24 avril 1783
D'Alembert à Non identifié
83.23  |  26 [avril 1783]
D'Alembert à Tressan
83.24  |  28 avril [1783]
D'Alembert à Catt
83.25  |  28 avril 1783
D'Alembert à Frédéric II
83.26  |  18 mai 1783
Frédéric II à D'Alembert
83.27  |  26 mai 1783
Chavanne de la Giraudière à D'Alembert
83.28  |  1 juin 1783
Caracciolo à D'Alembert
83.29  |  3 juin 1783
Grosley à D'Alembert
83.30  |  7 juillet 1783
D'Alembert à Frédéric II
83.31  |  13 juillet 1783
D'Alembert à Frédéric II
83.32  |  22 juillet 1783
Frédéric II à D'Alembert
83.33  |  25 juillet [1783]
D'Alembert à Franklin
83.34  |  2 août 1783
Caracciolo à D'Alembert
83.35  |  6 août 1783
D'Alembert à Saluces
83.36  |  23 août 1783
La Motte à D'Alembert
83.37  |  19 septembre 1783
Lefèvre à D'Alembert
83.38  |  27 septembre 1783
D'Alembert à Lagrange
83.39  |  30 septembre 1783
Frédéric II à D'Alembert
83.40  |  7 octobre 1783
Escherny à D'Alembert