Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
Paris, Bibliothèque de l'Institut, Ms. 880, f. 20-21
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 263-267
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 20rMonsieur
Il est bien vrai que l'exemple de la courbe \(y=\surd{x}+\surd{x\surd{(x+a)}}\), qui perd dans le cas \(a=0\) subitement toute une moitié, ne prouve pas que la meme chose doive arriver dans la courbe \[y=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{(n-1)(x^{n-1}-1)}\] au cas \(n=1\) : aussi ne me suis-je pas servi de cet exemple que pour prouver la possibilité d'une telle evanouïssance dans un certain cas : et je n'en tire que cette conclusion, que quoique la derniere courbe ait toujours un diametre, quand \(n\) est un nombre non pair, pourtant cette consequence puisse peut être cesser d'être vraie au cas \(n=1\).
Par ce moïen il me semble que j'ai bien repondu à Votre objection, tirée de cette formule generale : quoique ce cas ne prouve rien pour ma these : car d'abord je m'étois proposé de faire voir que les argumens, qu'on allegue pour prouver la realité des logarithmes des nombres negatifs, n'étoient pas trop surs. Mais il me semble que ma theorie ne manque pas des preuves positives ; mais avant que de les étaler, il faut repondre à Votre objection fondée sur l'équation \(y = e^x\), où Vous penses que le nombre \(e^1\), puisse avoir egalement une valeur affirmative et negative : je conviens meme que sa valeur est tout à fait arbitraire, car si Vous mettes \(e=10\), l'exposant \(x\) sera le logarithme commun ou tabulaire du nombre \(y\), et si \(e=2,30\) etc. ou \[e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4} \textrm{etc.}\] \(x\) sera le logarithme hyperbolique du nombre \(y\). Mais dès qu'on assigne au nombre \(e\) une valeur determinée, le systeme entier des logarithmes de tous les nombres sera determiné, aussi bien que la courbe, dont l'equation \(y = e^x\) : et comme \(e\) est quasi son parametre, on ne pourra pas lui donner en meme tems deux valeurs differentes que la courbe ne devienne composée de deux courbes differentes. De même que l'equation parabolique \(yy=ax\), si l'on donnoit à \(a\) une double valeur par exemple \(a=+1\) et \(a=-1\), on auroit deux courbes differentes, qui ne seroient pas jointes par le lien de la continuité. Cela posé il me semble fort clair, que posant \[e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\ \textrm{etc.}\]f. 20vles logarithmes des nombres negatifs doivent être impossibles, vu qu'il est impossible de trouver une telle valeur de \(x\), que \(e^x\) ou\[1+\frac{x}{1}+\frac{xx}{1\cdot2}+\frac{x^3}{1\cdot2\cdot3}+\ \textrm{etc.}\]produise une valeur negative. Il Vous paroit paradoxe que les differentiels des \(\ell y\) et \(\ell-y\) soient les mêmes ; mais Vous m'accorderés pourtant cette égalité dans un sens plus general c.à.d. que \(d\cdot\ell y = d\cdot\ell a,y\), quelque nombre constant que soit \(a\), d'où je ne vois la moindre difficulté, pourquoi on le pourroit nier dans le cas \(a=-1\). Par le raisonnement que Vous prouves que \(\ell-1 = 0\), Vous prouveres également que \(\ell\surd{-1}=0\) : car puisque \(\surd{-1\cdot\surd{-1}=-1}\), Vous aures\[\ell\surd{-1}+\ell\surd{-1}=\ell-1,\]c.à.d. \(2,\ell\surd{-1}=\ell-1=\frac{1}{2},\ell +1\) et partant \(\ell\surd{-1}=\frac{1}{4},\ell 1=0\), et si Vous n'aprouves pas ce raisonnement, Vous m'accorderes que le premier n'est plus convainquant. Or Vous seres au moins d'accord, que les logarithmes des nombres imaginaires ne sont pas rééls : sans cela cette expression \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}\) ne sauroit exprimer la quadrature du cercle. Soit \(\frac{\ell\surd{-1}}{\surd{-1}}=\alpha\), et Vous aures \(\ell\surd{-1}=\alpha\surd{-1}\) c.à.d. à une quantité imaginaire.
Si donc \(\ell\surd{-1}\) est imaginaire, pourquoi ne le seroit pas \(2,\ell\surd{-1}=\ell-1\). Ensuite comme \(\left(\frac{-1+\surd{-3}}{2}\right)^3=1\), suivant Votre raisonnement Vous auries \(3,\ell\frac{-1+\surd{-3}}{2}=\ell 1=0\) et le logarithme de \(\frac{-1+\surd{-3}}{2}\) seroit aussi bien \(=0\), que \(\ell +1\) et \(\ell -1\) et \(\ell\surd{-1}\) etc., ce qui n'est pas soutenable. Mais Vous m'oposeres, que meme \(\ell +1\) devroit etre imaginaire étant \(=2\ell-1=4\ell\surd{-1}=3\ell \frac{-1+\surd{-3}}{2}\) etc. Or c'est justement ce que je veux, car je dis que \(\ell+1\) a une infinité de valeurs differentes parmi lesquelles il y a une \(=0\), et toutes les autres sont imaginaires. Pour mieux expliquer cela, soient \(0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), \(\eta\), \(\theta\), \(\kappa\) etc. les logarithmes de l'unité : et je dis que les valeurs de \(\ell-1\) seront \(\frac{\alpha}{2}\) ; \(\frac{\gamma}{2}\) ; \(\frac{\varepsilon}{2}\) ; \(\frac{\eta}{2}\) ; etc. toutes imaginaires : de sorte pourtant que le double de chacune se trouve parmi les logarithmes de \(+1\) : mais il ne s'en suit pas que la moitié de chacune des valeurs du \(\ell+1\) se trouve parmi les \(\ell-1\) puisque \(-1\) n'est qu'une valeur de \(\surd{+1}\) l'autre etant \(+1\), dont les logarithmes sont \(\frac{0}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\delta}{2}\), \(\frac{\zeta}{2}\) qui sont justement les memes que \(0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\varepsilon\), \(\zeta\), etc.
Car \(\frac{\beta}{2}=\alpha\), \(\frac{\delta}{2}=\beta\), \(\frac{\zeta}{2}=\gamma\), \(\frac{\theta}{2}=\delta\), etc. Pareillement comme les trois racines cubiques de \(1\) sont \(1, \frac{-1+\surd{-3}}{2}\) et \(\frac{-1-\surd{-3}}{2}\), les logarithmes de ces trois racines seront f. 21r \(\ell 1=\frac{0}{3}, \frac{\gamma}{3}, \frac{\zeta}{3}, \frac{\iota}{3}, \frac{\mu}{3}\) etc. les memes que \(0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\varepsilon\), etc., \(\ell\frac{-1+\surd{-3}}{2}=\frac{\alpha}{3}, \frac{\delta}{3}, \frac{\eta}{3}, \frac{\kappa}{3}, \frac{\nu}{3},\ \textrm{etc.}\),\[\ell\frac{-1-\surd{-3}}{2}=\frac{\beta}{3}, \frac{\varepsilon}{3}, \frac{\theta}{3}, \frac{\lambda}{3}, \frac{\xi}{3},\ \textrm{etc.},\]et ces lettres \(\alpha\), \(\eta\), \(\gamma\), \(\varepsilon\), etc. ne sont pas fondées sur une pure conjecture. J'ai eu l'honneur meme de Vous en marquer les veritables valeurs. Car soit \(\pi\) la circonference d'un cercle dont le rayon est \(=1\), et les valeurs du \(\ell+1\) sont \(0\) ; \(\pm\pi\surd{-1}\) ; \(\pm2\pi\surd{-1}\) ; \(\pm3\pi\surd{-1}\) ; \(\pm4\pi\surd{-1}\) ; \(\pm5\pi\surd{-1}\) ; etc. de \(\ell -1\) sont \(\pm\frac{1}{2}\pi\surd{-1}\) ; \(\pm\frac{3}{2}\pi\surd{-1}\) ; \(\pm\frac{5}{2}\pi\surd{-1}\) ; etc. : Et en general j'ai trouvé \[\ell 1^p=\pi(\mp+n)\surd{-1}, \ell(-1)^p=\pi\left(\frac{1}{2}p+\mp+n\right)\surd{-1}\] où \(m\) et \(n\) marquent des nombres entiers tant affirmatifs que negatifs quelconques. Par ce moien toutes les difficultés disparoissent tout à fait qu'on ne sauroit lever en aucune maniere, si l'on vouloit realiser les logarithmes des nombres negatifs, se fondant que \(2\ell -1=\ell +1=0\), puisque par le même raisonnement, on seroit obligé de dire que \(\ell\surd{-1}=0\) et \(\ell\frac{-1+\surd{-3}}{2}=0\).
Vous dites encore, Monsieur, que puisque \(e^x=y\), si \(x=\frac{1}{2}\) le nombre \(y\) peut être tant affirmatif que negativ : mais parce que \(e^x\) marque ici la valeur de cette serie \(1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot2}+\frac{x^3}{1\cdot2\cdot3}+\ \textrm{etc.}\) je crois d'y repondre très solidement, que \(e^x\) ne signifie jamais plus qu'une valeur, et cela l'affirmative, quand meme \(x\) seroit une fraction ou l'extraction de racine semble rendre la formule \(e^x\) équivoque.
Votre piece sur le mouvement de la Lune est sans doute de la derniere profondeur et Votre superiorité dans les calculs les plus difficiles y eclate partout. La remarque que j'ai pris la liberté de Vous ecrire, ne regardoit que l'application de Votre analyse à l'usage des tables astronomiques. Il s'agit pour cet effet des aproximations faciles pour le calcul, et il me sembloit que la manière dont Vous traités ce probleme, n'etoit pas trop propre par rapport à ces aproximations. Car ayant manié cette question de quantites de manières differentes, je n'ai trouvé qu'un seul chemin, qui fut propre pour l'usage astronomique : duquel j'ai aussi calculé mes tables de la Lune. Je suis donc d'autant plus curieux de voir la suite de Vos recherches sur cette matière, ayant l'honneur d'être avec la plus grande consideration.
Monsieur
Votre très humble & très obeissant serviteur
L. Euler
Berlin ce 15 Avril 1747.
f. 21vA Monsieur
Monsieur d'Alembert des Academies Royales des Sciences de Paris et de Berlin
a Paris
81.02  |  5 janvier 1781
Ostervald à D'Alembert
81.04  |  6 janvier 1781
Joly à D'Alembert
81.03  |  [6] janvier 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.05  |  18 janvier 1781
Duvernet à D'Alembert
81.06  |  28 janvier 1781
D'Alembert à Vimeux
81.07  |  2 février 1781
D'Alembert à Vermeil
81.08  |  7 février 1781
D'Alembert à Aubry Jean Baptiste Benoît
81.09  |  9 février 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.10  |  10 février 1781
Garat à D'Alembert
81.11  |  [c. 20 février 1781]
D'Alembert à Frisi
81.12  |  21 février 1781
Calandrelli à D'Alembert
81.13  |  24 février 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.13a  |  16 mars [1781]
D'Alembert à Saint Marc
81.14  |  17 mars 1781
Luchet à D'Alembert
81.15  |  26 mars 1781
D'Alembert à Calandrelli
81.16  |  30 mars 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.17  |  30 mars [1781]
D'Alembert à Gail
81.24  |  [avril 1781]
Grosley à D'Alembert
81.18  |  13 avril 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.19  |  15 avril 1781
Lagrange à D'Alembert
81.21  |  19 avril 1781
La Motte à D'Alembert
81.20  |  19 avril 1781
D'Alembert à Decroix
81.22  |  20 avril 1781
Stonington à D'Alembert
81.23  |  21 avril 1781
Duval Pyrau à D'Alembert
81.26  |  11 mai 1781
D'Alembert à Lagrange
81.25  |  11 mai 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.27  |  12 mai 1781
Grosley à D'Alembert
81.28  |  28 mai 1781
Frédéric II à D'Alembert
A81.01  |  [2 juin 1781]
D'Alembert à Vaudé
81.29  |  8 juin 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.30  |  13 juin 1781
D'Alembert à Vimeux
81.31  |  14 [juin] 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.31a  |  17 juin 1781
D'Alembert à Dupuis
81.32  |  22 juin 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.33  |  29 juin 1781
D'Alembert à Formey
81.34  |  29 juin 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.35  |  30 juin 1781
Castet de Martres à D'Alembert
A81.02  |  [juillet 1781]
D'Alembert à Vimeux
81.36  |  3 juillet 1781
D'Alembert à Caracciolo
81.37  |  5 juillet 1781
Sarconi à D'Alembert
81.39  |  20 juillet 1781
D'Alembert à Vimeux
81.38  |  20 juillet [1781]
D'Alembert à Luce de Lancival
81.40  |  21 juillet 1781
Caracciolo à D'Alembert
81.41  |  30 juillet 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.42  |  2 août 1781
D'Alembert à Servan
81.43  |  3 août 1781
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
81.44  |  7 août [1781]
D'Alembert à Montausier
81.45  |  12 août 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.47  |  [14 août 1781]
Vimeux à D'Alembert
81.46  |  14 août 1781
Caracciolo à D'Alembert
81.48  |  19 [août 1781]
D'Alembert à Debure
81.49  |  20 août 1781
Montmorin à D'Alembert
81.50  |  24 août 1781
D'Alembert à La Maillardière
81.52  |  10 septembre 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.51  |  10 septembre 1781
D'Alembert à Caracciolo
81.53  |  19 septembre 1781
Grosley à D'Alembert
81.54  |  21 septembre 1781
Lagrange à D'Alembert
81.55  |  27 septembre 1781
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
81.56  |  27 septembre 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.57  |  30 septembre 1781
D'Alembert à Portelance
81.58  |  24 octobre 1781
D'Alembert à Amelot de Chaillou
81.61  |  26 octobre 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.59  |  26 octobre 1781
D'Alembert à Catt
81.60  |  26 octobre 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.62  |  28 octobre 1781
D'Alembert à Formey
81.63  |  2 novembre 1781
D'Alembert à Lafoes
81.64  |  10 novembre 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.65  |  19 novembre 1781
D'Alembert à Rochefort d'Ally Jacques
81.66  |  7 décembre 1781
Lagrange à D'Alembert
81.67  |  11 décembre 1781
D'Alembert à Bowdoin James
81.68  |  12 décembre 1781
D'Alembert à Un dramaturge italien
A81.03  |  14 décembre 1781
D'Alembert à Lagrange
81.71  |  14 décembre 1781
D'Alembert à Lagrange
81.69  |  14 décembre 1781
D'Alembert à Catt
81.70  |  14 décembre 1781
D'Alembert à Frédéric II
81.72  |  [26 décembre 1781]
D'Alembert à Suard (Panckoucke) Mme